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l’élément et ϐ l’observation ; l’expression analytique de celle-ci sera une fonction de l’élément. En y substituant, au lieu de l’élément, sa valeur approchée, plus la correction $z\,;$ en réduisant en série par rapport à $z$ et négligeant le carré de $z,$ cette fonction prendra la forme $m+pz,$ à laquelle on égale la quantité observée ϐ, ce qui donne

${\text{ϐ}}=m+pz\,;$

$z$ serait donc ainsi déterminé, si l’observation était rigoureuse ; mais, comme elle est susceptible d’erreur, en nommant $\varepsilon$ cette erreur, on a rigoureusement

${\text{ϐ}}+\varepsilon =m+pz$

ou, en faisant ${\text{ϐ}}-m=\varphi ,$ on a

$\varepsilon =pz-\varphi .$

Chaque observation fournit une équation de condition semblable, que l’on peut représenter pour l’observation $(i+1)$^ième par celle-ci

$\varepsilon ^{(i)}=p^{(i)}z-\varphi ^{(i)}.$

En réunissant toutes ces équations, on a

$\mathrm {S} \varepsilon ^{(i)}=z\mathrm {S} p^{(i)}-\mathrm {S} \varphi ^{(i)},$

le signe $\mathrm {S}$ se rapportant à toutes les valeurs de $i,$ depuis $i=0$ jusqu’à $i=s-1,$ $s$ étant le nombre total des observations. En supposant nulle la somme des erreurs, cette équation donne

$z={\frac {\mathrm {S} \varphi ^{(i)}}{\mathrm {S} p^{(i)}}}\,;$

c’est ce que l’on nomme ordinairement résultat moyen des observations.

J’ai donné dans le Volume précédent ^[1] la loi de la probabilité des erreurs de ce résultat ; mais, au lieu de supposer nulle la somme des erreurs, on peut supposer nulle une fonction quelconque linéaire de ces erreurs que nous représenterons ainsi

$(m)\qquad \qquad \qquad q\varepsilon +q^{(1)}\varepsilon ^{(1)}+q^{(2)}\varepsilon ^{(2)}+\ldots +q^{(s-1)}\varepsilon ^{(s-1)},$

1. Voir, plus haut, p. 322 et suivantes.