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et négligeant les quantités de l’ordre ${\frac {1}{n}},$

$\mathrm {U} ={\frac {2}{\sqrt {n\pi }}}{\sqrt {\frac {m}{2m-n}}}e^{\frac {-m\mu ^{2}}{2m-n}}\,;$

en faisant donc

$i^{2}={\frac {m}{2m-n}},$

on aura

$\mathrm {U} ={\frac {2i}{\sqrt {n\pi }}}e^{-i^{2}\mu ^{2}}.$

Si le nombre $m$ est infini, alors $i^{2}={\frac {1}{2}},$ et la valeur initiale de $\mathrm {U}$ est

$\mathrm {U} ={\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {m\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}\mu ^{2}}.$

Sa valeur, après un nombre quelconque de tirages, est

$\mathrm {U} ={\frac {2}{\sqrt {n\pi \left(1+e^{\frac {-4r}{n}}\right)}}}e^{-{\frac {\mu ^{2}}{1+e^{\frac {-4r}{n}}}}}.$

Le cas de $m$ infini revient à celui dans lequel l’urne $\mathrm {A}$ serait remplie, en projetant $n$ fois une pièce qui amènerait indifféremment croix ou pile, et en mettant dans l’urne $\mathrm {A}$ une boule blanche chaque fois que croix arriverait, et une boule noire chaque fois que pile arriverait ; car il est visible que la probabilité de tirer une boule blanche ou noire de l’urne $\mathrm {C}$ est ${\frac {1}{2}}$ comme celle d’amener croix ou pile. En prenant l’intégrale $\int \mathrm {U} dx$ ou ${\frac {1}{2}}\int \mathrm {U} d\mu {\sqrt {n}}$ depuis $\mu =-a$ jusqu’à $\mu =a,$ on aura la probabilité que le nombre des boules blanches de l’urne $\mathrm {A}$ sera compris dans les limites $\pm a{\sqrt {n}}.$

VI.

Du milieu qu’il faut choisir entre les résultats des observations.

Lorsque l’on veut corriger un élément déjà connu à fort peu près, par l’ensemble d’un grand nombre d’observations, on forme des équations de condition de la manière suivante. Soient $z$ la correction de