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Pour donner une application de ces formules, imaginons dans une urne $\mathrm {C}$ un très grand nombre $m$ de boules blanches et un pareil nombre de boules noires. Ces boules ayant été mêlées, supposons que l’on tire de l’urne $n$ boules que l’on met dans l’urne $\mathrm {A} .$ Supposons ensuite que l’on mette dans l’urne $\mathrm {B}$ autant de boules blanches qu’il y a de boules noires dans l’urne $\mathrm {A} ,$ et autant de boules noires qu’il y a de boules blanches dans la même urne. Il est clair que le nombre des cas dans lesquels on aura $x$ boules blanches, et par conséquent $n-x$ boules noires dans l’urne $\mathrm {A} ,$ est égal au produit du nombre des combinaisons des $m$ boules blanches de l’urne $\mathrm {C} ,$ prises $x$ à $x,$ par le nombre des combinaisons des $m$ boules noires de la même urne, prises $n-x$ à $n-x.$ Ce produit est égal à

${\frac {m(m-1)(m-2)\ldots (m-x+1)}{1.2.3\ldots x}}\,{\frac {m(m-1)(m-2)\ldots (m-n+x+1)}{1.2.3\ldots (n-x)}}$

ou à

${\frac {(1.2.3\ldots m)^{2}}{1.2.3\ldots x.1.2.3\ldots (m-x).1.2.3\ldots (n-x).1.2.3\ldots (m-n+x)}}.$

Le nombre de tous les cas possibles est le nombre des combinaisons des $2m$ boules prises $n$ à $n\,;$ ce nombre est

${\frac {1.2.3\ldots 2m}{1.2.3\ldots n.1.2.3\ldots (2m-n)}}\,;$

en divisant donc la fraction précédente par celle-ci, on aura pour la probabilité de $x$ ou pour la valeur initiale de $\mathrm {U}$

${\frac {(1.2.3\ldots m)^{2}.1.2.3\ldots n.1.2.3\ldots (2m-n)}{1.2.3\ldots x.1.2.3\ldots (m-x).1.2.3\ldots (n-x).1.2.3\ldots (m-n+x).1.2.3\ldots 2m}}.$

Maintenant, si l’on observe que l’on a à très peu près, lorsque $s$ est un très grand nombre,

$1.2.3\ldots s=s^{s+{\frac {1}{2}}}e^{-s}{\sqrt {2\pi }},$

on trouvera après toutes les réductions, en faisant

$x={\frac {n+\mu {\sqrt {n}}}{2}}$