jusqu’à
l’intégrale relative à
doit être prise dans les mêmes limites, on aura
![{\displaystyle \mathrm {U} ={\frac {k{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {1+{\text{ϐ}}'}}}e^{\frac {-\mu ^{2}}{1+{\text{ϐ}}'}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d30be07bebe83547632a69310c3f90d263638d1f)
En comparant cette expression à la valeur initiale de
qui est
![{\displaystyle \mathrm {U} ={\frac {2i}{\sqrt {n\pi }}}e^{-i^{2}\mu ^{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17cf3f7388d7408fb64ee83ba192392ec531f1d6)
et observant que ϐ est la valeur initiale de ϐ’, on aura
![{\displaystyle i^{2}={\frac {1}{1+{\text{ϐ}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b5a740f7de076169456538229cf8d4302aef567)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\text{ϐ}}={\frac {1-i^{2}}{i^{2}}},\qquad {\text{ϐ}}'={\frac {1-i^{2}}{i^{2}e^{4r'}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cde7d6a92c78d5fd27023518a84035a034ef6a6)
On doit avoir ensuite
![{\displaystyle {\frac {k{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {1+{\text{ϐ}}}}}={\frac {2i}{\sqrt {n\pi }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82ec5572c34d9d5645b9687a1d1fa60e29c18dd0)
ce qui donne
![{\displaystyle k{\sqrt {\pi }}={\frac {2}{\sqrt {n\pi }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cae727313eb88d233ad47d267404ccf8fb6172fd)
valeur que l’on obtient encore par la condition que
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {U} d\mu {\sqrt {n}}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afa1ccfdf232434a774ed3fc30cbf52fe11b4f04)
on aura donc pour l’expression de
quel que soit ![{\displaystyle r',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d344f327d953ecaf5bada69ea80373982b48def)
![{\displaystyle \mathrm {U} ={\frac {2}{n\pi \left(1+{\text{ϐ}}'\right)}}e^{\frac {-\mu ^{2}}{1+{\text{ϐ}}'}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ead19ee4810bb1ca63e345df6cec57a61ffe2398)
On trouve, en effet, que cette valeur de
substituée dans l’équation aux différentielles partielles en
y satisfait. ϐ’ diminuant sans cesse quand
augmente, la valeur de
varie sans cesse et devient à sa limite, lorsque
est infini,
![{\displaystyle \mathrm {U} ={\frac {2}{n\pi }}e^{-\mu ^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b78c9e863232ee3805c9b8f00d826f7190e2357d)