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que nous avons désignée par $\mathrm {X} ,$

$\mathrm {X} ={\frac {2e^{-\mu ^{2}}}{\sqrt {n\pi }}}\left[1+\mathrm {Q} ^{(1)}\left(1-2\mu ^{2}\right)+\ldots +\mathrm {L} ^{(0)}\mu +\mathrm {L} ^{(1)}\mu \left(1-{\frac {2}{3}}\mu ^{2}\right)+\ldots \right].$

Si l’on multiplie cette équation par $\mathrm {U} _{i}d\mu ,$ et si l’on prend les intégrales depuis $\mu =-infty$ jusqu’à $\mu =\infty ,$ on aura, en vertu des théorèmes précédents,

$\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {X} \mathrm {U} _{i}d\mu ={\frac {2}{\sqrt {n\pi }}}\mathrm {Q} ^{(i)}\int \mathrm {U} _{i}\mathrm {U} _{i}d\mu e^{-\mu ^{2}}\,;$

d’où l’on tire

$\mathrm {Q} ^{(i)}={\frac {1.3.5\ldots (2i-1){\frac {1}{2}}{\sqrt {n}}}{2.4.6\ldots 2i}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {X} \mathrm {U} _{i}d\mu \,;$

on trouvera de la même manière

$\mathrm {L} ^{(i)}={\frac {1.3.5\ldots (2i+1){\sqrt {n}}}{2.4.6\ldots 2i}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {X} \mathrm {U} '_{i}d\mu .$

On aura donc ainsi les valeurs successives de $\mathrm {Q^{(1)},Q^{(2)},\ldots ,L^{(0)},L^{(1)}} ,\ldots ,$ au moyen d’intégrales définies, lorsque $\mathrm {X}$ ou la valeur initiale de $\mathrm {U}$ sera donnée.

Dans le cas où $\mathrm {X}$ est égal à ${\frac {2i}{\sqrt {n\pi }}}e^{-i^{2}\mu ^{2}},$ l’expression générale de $\mathrm {U}$ prend une forme très simple. Alors la fonction arbitraire $\Gamma \left({\frac {s-\mu {\sqrt {-1}}}{e^{2r'}}}\right)$ de la formule (A) est de la forme $ke^{-{\text{ϐ}}^{\left({\frac {s-\mu {\sqrt {-1}}}{e^{2r'}}}\right)}}.$ Pour déterminer les constantes ϐ et $k,$ nous observerons que, en supposant

${\text{ϐ}}'={\frac {\text{ϐ}}{e^{4r'}}},$

on aura

$\mathrm {U} =ke^{\frac {-\mu ^{2}}{1+{\text{ϐ}}'}}\int _{-\infty }^{\infty }ds\,e^{-\left(1+{\text{ϐ}}'\right)\left(s-{\frac {{\text{ϐ}}'\mu {\sqrt {-1}}}{1+{\text{ϐ}}'}}\right)^{2}}\,;$

en faisant ensuite

${\sqrt {1+{\text{ϐ}}'}}\left(s-{\frac {{\text{ϐ}}'\mu {\sqrt {-1}}}{1+{\text{ϐ}}'}}\right)=s',$

et observant que l’intégrale relative à $s$ devant être prise depuis