que nous avons désignée par
![{\displaystyle \mathrm {X} ={\frac {2e^{-\mu ^{2}}}{\sqrt {n\pi }}}\left[1+\mathrm {Q} ^{(1)}\left(1-2\mu ^{2}\right)+\ldots +\mathrm {L} ^{(0)}\mu +\mathrm {L} ^{(1)}\mu \left(1-{\frac {2}{3}}\mu ^{2}\right)+\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be5992c0821390a9a6fe2f28a3d8c298a8bca76b)
Si l’on multiplie cette équation par
et si l’on prend les intégrales depuis
jusqu’à
on aura, en vertu des théorèmes précédents,
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {X} \mathrm {U} _{i}d\mu ={\frac {2}{\sqrt {n\pi }}}\mathrm {Q} ^{(i)}\int \mathrm {U} _{i}\mathrm {U} _{i}d\mu e^{-\mu ^{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/689ef2a07e1e165b522de3b37ca43048f1734cbb)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \mathrm {Q} ^{(i)}={\frac {1.3.5\ldots (2i-1){\frac {1}{2}}{\sqrt {n}}}{2.4.6\ldots 2i}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {X} \mathrm {U} _{i}d\mu \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/555b421dd17c14ba2a4c5fcec8ef6cc147a599f4)
on trouvera de la même manière
![{\displaystyle \mathrm {L} ^{(i)}={\frac {1.3.5\ldots (2i+1){\sqrt {n}}}{2.4.6\ldots 2i}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {X} \mathrm {U} '_{i}d\mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a8501c576b12b2c190f18d122667020728746f4)
On aura donc ainsi les valeurs successives de
au moyen d’intégrales définies, lorsque
ou la valeur initiale de
sera donnée.
Dans le cas où
est égal à
l’expression générale de
prend une forme très simple. Alors la fonction arbitraire
de la formule (A) est de la forme
Pour déterminer les constantes ϐ et
nous observerons que, en supposant
![{\displaystyle {\text{ϐ}}'={\frac {\text{ϐ}}{e^{4r'}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/246547a2bb532bfad090f80afc3d6817882d2854)
on aura
![{\displaystyle \mathrm {U} =ke^{\frac {-\mu ^{2}}{1+{\text{ϐ}}'}}\int _{-\infty }^{\infty }ds\,e^{-\left(1+{\text{ϐ}}'\right)\left(s-{\frac {{\text{ϐ}}'\mu {\sqrt {-1}}}{1+{\text{ϐ}}'}}\right)^{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f859e3ee79d9a45bd7fb41b2c4b6bd0ff142364)
en faisant ensuite
![{\displaystyle {\sqrt {1+{\text{ϐ}}'}}\left(s-{\frac {{\text{ϐ}}'\mu {\sqrt {-1}}}{1+{\text{ϐ}}'}}\right)=s',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6b572e3184ec632b1346fe03289a4dc3f019a8c)
et observant que l’intégrale relative à
devant être prise depuis