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On a, en intégrant par rapport à $\mu ,$ depuis $\mu =-infty$ jusqu’à $\mu =\infty ,$

${\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mu ^{2i}d\mu dse^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i}\\={\frac {2i-1}{2}}&\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mu ^{2i-2}d\mu dse^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i}\\+{\frac {2i}{2}}&\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mu ^{2i-1}d\mu dse^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i-1}.\end{aligned}}$

Le premier terme du second membre de cette équation est nul par ce qui précède ; ce membre se réduit donc à son second terme ; on trouve de la même manière que l’on a

${\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mu ^{2i-1}d\mu dse^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i-1}\\={\frac {2i-1}{2}}&\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mu ^{2i-2}d\mu dse^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i-2},\end{aligned}}$

et ainsi de suite ; on a donc

$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mu ^{2i}d\mu dse^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i}={\frac {1.2.3\ldots 2i\pi }{2^{2i}}},$

par conséquent

$\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {U} _{i}\mathrm {U} _{i}d\mu e^{-\mu ^{2}}={\frac {2.4.6\ldots 2i{\sqrt {\pi }}}{1.3.5\ldots (2i-1)}}.$

On trouvera de la même manière

$\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {U} '_{i}\mathrm {U} '_{i}d\mu e^{-\mu ^{2}}={\frac {1}{2}}{\frac {2.4.6\ldots 2i{\sqrt {\pi }}}{1.3.5\ldots (2i+1)}}\,;$

on a évidemment

$\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {U} _{i}\mathrm {U} '_{i}d\mu e^{-\mu ^{2}}=0$

dans le cas même où $i$ et $i'$ ne sont pas différents, parce que le produit $\mathrm {U} _{i}\mathrm {U} '_{i}$ ne contient que des puissances impaires de $\mu .$

Cela posé, l’expression générale de $\mathrm {U}$ donne, pour sa valeur initiale,