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c n’étant pas zéro ; et, par ce qui précède, ce terme est nul. On prouvera de la même manière que l’on a

$0=\mathrm {L} ^{(i)}\int _{-\infty }^{\infty }\mu ^{2q+1}d\mu \mathrm {U} '_{i}e^{-\mu ^{2}}.$

De là il suit que l’on a généralement

${\begin{aligned}0=&\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {U} _{i}\mathrm {U} _{i'}d\mu e^{-\mu ^{2}},\\0=&\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {U} '_{i}\mathrm {U} '_{i'}d\mu e^{-\mu ^{2}},\end{aligned}}$

$i$ et $i'$ étant des nombres différents ; car, si, par exemple, $i'$ est plus grand que $i,$ toutes les puissances de $\mu$ dans $\mathrm {U} _{i}$ seront moindres que $2i'\,;$ chacun des termes de $\mathrm {U}$ donnera donc, par les théorèmes précédents, un résultat nul dans l’intégrale $\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {U} _{i}\mathrm {U} _{i'}d\mu e^{-\mu ^{2}}.$ Le même raisonnement a lieu pour l’intégrale $\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {U} '_{i}\mathrm {U} '_{i'}d\mu e^{-\mu ^{2}}.$

Mais ces intégrales ne sont pas nulles lorsque $i'=i\,;$ on les obtiendra, dans ce cas, de cette manière. On a, par ce qui précède,

$\mathrm {U} _{i}={\frac {2^{i}\left({\sqrt {-1}}\right)^{2i}\int _{-\infty }^{\infty }dse^{-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i}}{1.3.5\ldots (2i-1){\sqrt {\pi }}}}.$

Le terme qui a pour facteur $\mu ^{2i}$ dans cette expression est

${\frac {2^{i}\left({\sqrt {-1}}\right)^{2i}\mu ^{2i}}{1.3.5\ldots (2i-1)}}\,;$

or on peut ne considérer que ce terme dans le premier facteur $\mathrm {U} _{i}$ de l’intégrale $\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {U} _{i}\mathrm {U} _{i}d\mu e^{-\mu ^{2}}\,;$ car les puissances inférieures de $\mu$ dans ce facteur donnent un résultat nul dans l’intégrale ; on a donc

$\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {U} _{i}\mathrm {U} _{i}d\mu e^{-\mu ^{2}}$

$={\frac {2^{2i}}{\left[1.2.3\ldots (2i-1)\right]^{2}{\sqrt {\pi }}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mu ^{2i}d\mu dse^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i}\,;$