L’expression générale de
a ainsi la forme suivante
![{\displaystyle \mathrm {U} ={\frac {2e^{-\mu ^{2}}}{\sqrt {n\pi }}}\left[1+{\frac {\mathrm {Q} ^{(1)}\left(1-2\mu ^{2}\right)}{e^{4r'}}}+{\frac {\mathrm {Q} ^{(2)}\left(1-4\mu ^{2}+{\frac {4}{3}}\mu ^{4}\right)}{e^{8r'}}}+\ldots \right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1719e5e425b5b54a73ac1320869fcd3d7c73d55f)
![{\displaystyle \left.+{\frac {\mathrm {L} ^{(0)}\mu }{e^{2r'}}}+{\frac {\mathrm {L} ^{(1)}\mu \left(1-{\frac {2}{3}}\mu ^{2}\right)}{e^{6r'}}}+{\frac {\mathrm {L} ^{(2)}\mu \left(1-{\frac {4}{3}}\mu ^{2}+{\frac {4}{15}}\mu ^{4}\right)}{e^{10r'}}}+\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93d01e9efc40dd0f52e6fc76a75e027738d8864b)
étant des constantes indéterminées qui dépendent de la valeur initiale de ![{\displaystyle \mathrm {U} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/009d740d6721bd1a18d18d1eb88d1545e8a53c0c)
Supposons que
devienne
lorsque
est nul,
étant une fonction donnée de
On a généralement ces deux théorèmes
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&\mathrm {Q} ^{(i)}\int \mu ^{2q}\ \ \ d\mu \mathrm {U} _{i}e^{-\mu ^{2}},\\0=&\mathrm {L} ^{(i)}\int \mu ^{2q+1}d\mu \mathrm {U} '_{i}e^{-\mu ^{2}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16be90cb163aa21b6675caa702d0ab43b4cbfd97)
lorsque
est moindre que
et
étant les fonctions de
par lesquelles
et
sont multipliés dans l’expression de
Par ce qui précède, le terme
est égal à
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {H} ^{(i)}\left({\sqrt {-1}}\right)^{2i}}{e^{4ir'}}}e^{-\mu ^{2}}\int dse^{-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d27a96c615e6ed9cead59567c8a778096fed9e0d)
il faut donc démontrer que l’on a
![{\displaystyle 0=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mu ^{2q}dsd\mu e^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92221c5a82e616e65d09167066d9913bc39d03cd)
En intégrant d’abord par rapport à
ce terme devient
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2q-1}{2}}&\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mu ^{2q-2}d\mu dse^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i}\\+i&\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mu ^{2q-1}d\mu dse^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i-1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d64afb5dfdd940d8d4a6434270627272db822a0)
En continuant d’intégrer ainsi par parties, on arrive à des termes de la forme
![{\displaystyle \mathrm {K} \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }d\mu dse^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2c},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b59ee01cc4ed036f9df69c73a1616d41b1dbb81)