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L’expression générale de $\mathrm {U}$ a ainsi la forme suivante

$\mathrm {U} ={\frac {2e^{-\mu ^{2}}}{\sqrt {n\pi }}}\left[1+{\frac {\mathrm {Q} ^{(1)}\left(1-2\mu ^{2}\right)}{e^{4r'}}}+{\frac {\mathrm {Q} ^{(2)}\left(1-4\mu ^{2}+{\frac {4}{3}}\mu ^{4}\right)}{e^{8r'}}}+\ldots \right.$

$\left.+{\frac {\mathrm {L} ^{(0)}\mu }{e^{2r'}}}+{\frac {\mathrm {L} ^{(1)}\mu \left(1-{\frac {2}{3}}\mu ^{2}\right)}{e^{6r'}}}+{\frac {\mathrm {L} ^{(2)}\mu \left(1-{\frac {4}{3}}\mu ^{2}+{\frac {4}{15}}\mu ^{4}\right)}{e^{10r'}}}+\ldots \right],$

$\mathrm {Q^{(1)},Q^{(2)},\ldots ,L^{(0)},L^{(1)}} ,\ldots$ étant des constantes indéterminées qui dépendent de la valeur initiale de $\mathrm {U} .$

Supposons que $\mathrm {U}$ devienne $\mathrm {X}$ lorsque $r'$ est nul, $\mathrm {X}$ étant une fonction donnée de $\mu .$ On a généralement ces deux théorèmes

${\begin{aligned}0=&\mathrm {Q} ^{(i)}\int \mu ^{2q}\ \ \ d\mu \mathrm {U} _{i}e^{-\mu ^{2}},\\0=&\mathrm {L} ^{(i)}\int \mu ^{2q+1}d\mu \mathrm {U} '_{i}e^{-\mu ^{2}},\end{aligned}}$

lorsque $q$ est moindre que $i,$ $\mathrm {U} _{i}$ et $\mathrm {U} '_{i}$ étant les fonctions de $\mu$ par lesquelles ${\frac {2\mathrm {Q} ^{(i)}e^{-\mu ^{2}}}{{\sqrt {n\pi }}e^{4ir'}}}$ et ${\frac {2\mathrm {L} ^{(i)}e^{-\mu ^{2}}}{{\sqrt {n\pi }}e^{(4i+2)r'}}}$ sont multipliés dans l’expression de $\mathrm {U} .$ Par ce qui précède, le terme ${\frac {2\mathrm {Q} ^{(i)}\mathrm {U} e^{-\mu ^{2}}}{e^{4ir'}{\sqrt {n\pi }}}}$ est égal à

${\frac {\mathrm {H} ^{(i)}\left({\sqrt {-1}}\right)^{2i}}{e^{4ir'}}}e^{-\mu ^{2}}\int dse^{-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i}\,;$

il faut donc démontrer que l’on a

$0=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mu ^{2q}dsd\mu e^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i}.$

En intégrant d’abord par rapport à $\mu ,$ ce terme devient

${\begin{aligned}{\frac {2q-1}{2}}&\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mu ^{2q-2}d\mu dse^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i}\\+i&\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mu ^{2q-1}d\mu dse^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i-1}.\end{aligned}}$

En continuant d’intégrer ainsi par parties, on arrive à des termes de la forme

$\mathrm {K} \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }d\mu dse^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2c},$