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la fonction arbitraire $\Pi (s)$ pouvant être autre que la fonction $\Gamma (s).$ La somme de ces deux expressions de $\mathrm {U}$ sera la valeur entière de $\mathrm {U} \,;$ mais il est facile de s’assurer que les intégrales, étant prises depuis $s=-\infty$ jusqu’à $s=\infty ,$ l’addition de cette nouvelle expression de $\mathrm {U}$ n’ajoute rien à la généralité de la première dans laquelle elle est comprise.

Développons maintenant le second membre de l’équation (A), suivant les puissances de ${\frac {1}{e^{2r'}}},$ et considérons un des termes de ce développement, tel que

${\frac {\mathrm {H} ^{(i)}e^{-\mu ^{2}}}{e^{4ir'}}}\int dse^{-s^{2}}\left(s-\mu {\sqrt {-1}}\right)^{2i}\,;$

ce terme devient, après les intégrations,

${\frac {1.3.5\ldots (2i-1)}{2^{i}}}{\sqrt {\pi }}{\frac {\mathrm {H} ^{(i)}e^{-\mu ^{2}}}{e^{4ir'}}}$

$\times \left[1-{\frac {i}{1.2}}(2\mu )^{2}+{\frac {i(i-1)}{1.2.3.4}}(2\mu )^{4}-{\frac {i(i-1)(i-2)}{1.2.3.4.5.6}}(2\mu )^{6}+\ldots \right].$

Considérons encore un terme du développement de l’expression de $\mathrm {U} ,$ tel que

${\frac {\mathrm {L} ^{(i)}{\sqrt {-1}}e^{-\mu ^{2}}}{e^{(4i+2)r'}}}\int dse^{-s^{2}}\left(s-\mu {\sqrt {-1}}\right)^{2i+1}\,;$

ce terme devient, après les intégrations.

${\frac {1.3.5\ldots (2i+1)\mathrm {L} ^{(i)}\mu e^{-\mu ^{2}}{\sqrt {\pi }}}{2^{i}e^{(4i+2)r'}}}$

$\times \left[1-{\frac {i}{1.2.3}}(2\mu )^{2}+{\frac {i(i-1)}{1.2.3.4.5}}(2\mu )^{4}-{\frac {i(i-1)(i-2)}{1.2.3.4.5.6.7}}(2\mu )^{6}+\ldots \right].$

On aura donc ainsi l’expression générale de la probabilité $\mathrm {U} ,$ développée dans une série ordonnée suivant les puissances de ${\frac {1}{e^{2r'}}},$ série qui devient très convergente, lorsque $r'$ est un peu considérable. Cette expression doit être telle que $\int \mathrm {U} dx$ ou ${\frac {1}{2}}\int \mathrm {U} d\mu {\sqrt {n}}$ soit égal à l’unité, les intégrales étant étendues à toutes les valeurs dont $x$ et $\mu$ sont susceptibles, c’est-à-dire depuis $x$ nul jusqu’à $x=n$ et depuis $\mu =-{\sqrt {n}}$ jusqu’à $\mu ={\sqrt {n}}\,;$ car il est certain que l’urne doit ou non contenir des boules blanches. En prenant l’intégrale $\int e^{-\mu ^{2}}d\mu$ dans ces limites, et généralement dans les limites $\pm n^{\frac {1}{r}},$ on a le même