qui dépend de la probabilité des diverses valeurs de
dans l’état initial des urnes. En effet, il est visible que si l’on connaît les valeurs de
correspondantes à toutes les valeurs de
depuis
jusqu’à
l’équation précédente donne toutes les valeurs de
en observant que, les valeurs négatives de
étant impossibles,
est nul lorsque
est négatif.
Lorsque
est un très grand nombre, cette équation se transforme dans une équation aux différences infiniment petites partielles que l’on obtient ainsi ; on a alors, à très peu près,
![{\displaystyle {\begin{aligned}z_{x+1,r}=&z_{x,r}+{\frac {\partial z_{x,r}}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}z_{x,r}}{\partial x^{2}}},\\z_{x-1,r}=&z_{x,r}-{\frac {\partial z_{x,r}}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}z_{x,r}}{\partial x^{2}}},\\z_{x,r+1}=&z_{x,r}+{\frac {\partial z_{x,r}}{\partial r}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5029de5dbcf1a43bdf6850da89cc815677c8b6a4)
Soit
![{\displaystyle x={\frac {n+\mu {\sqrt {n}}}{2}},\qquad r=nr',\qquad z_{x,r}=\mathrm {U} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c555bb01d8d38d9e2c7aea8bf65bd8d0cacb58e)
l’équation précédente aux différences partielles deviendra, en négligeant les termes de l’ordre ![{\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af9df4f64633e68274d547beaab1e065d0af57e4)
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial r'}}=\mathrm {2U+2\mu {\frac {\partial U}{\partial \mu }}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial \mu ^{2}}}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56fe969fec6d0ea0f6d8a36c818e04474b52bdd7)
Pour intégrer cette équation, qui, comme on peut s’en assurer par la méthode que j’ai donnée pour cet objet, dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de l’année 1773 [1], n’est intégrable, en termes finis, qu’au moyen d’intégrales définies, faisons
![{\displaystyle \mathrm {U} =\int \varphi dte^{-\mu t}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59056dd57bc9c13bbd788d9418431bf7e3fb5e5d)
étant une fonction de
et de
on aura
![{\displaystyle 2\mu {\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial \mu }}=2e^{-\mu t}t\varphi -2\int e^{-\mu t}(\varphi dt+td\varphi ),\qquad {\frac {\partial ^{2}\mathrm {U} }{\partial \mu ^{2}}}=\int e^{-\mu t}t^{2}\varphi dt\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c59838531015bd87bbbe6ddb72bcff91ed7c221d)
- ↑ Œuvres de Laplace, T. VIII.