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qui dépend de la probabilité des diverses valeurs de $x$ dans l’état initial des urnes. En effet, il est visible que si l’on connaît les valeurs de $z_{x,0}$ correspondantes à toutes les valeurs de $x,$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=n,$ l’équation précédente donne toutes les valeurs de $z_{x,1},z_{x,2},\ldots ,$ en observant que, les valeurs négatives de $x$ étant impossibles, $z_{x,r}$ est nul lorsque $x$ est négatif.

Lorsque $x$ est un très grand nombre, cette équation se transforme dans une équation aux différences infiniment petites partielles que l’on obtient ainsi ; on a alors, à très peu près,

${\begin{aligned}z_{x+1,r}=&z_{x,r}+{\frac {\partial z_{x,r}}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}z_{x,r}}{\partial x^{2}}},\\z_{x-1,r}=&z_{x,r}-{\frac {\partial z_{x,r}}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}z_{x,r}}{\partial x^{2}}},\\z_{x,r+1}=&z_{x,r}+{\frac {\partial z_{x,r}}{\partial r}}.\end{aligned}}$

Soit

$x={\frac {n+\mu {\sqrt {n}}}{2}},\qquad r=nr',\qquad z_{x,r}=\mathrm {U} \,;$

l’équation précédente aux différences partielles deviendra, en négligeant les termes de l’ordre ${\frac {1}{n^{2}}},$

${\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial r'}}=\mathrm {2U+2\mu {\frac {\partial U}{\partial \mu }}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial \mu ^{2}}}} .$

Pour intégrer cette équation, qui, comme on peut s’en assurer par la méthode que j’ai donnée pour cet objet, dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de l’année 1773 ^[1], n’est intégrable, en termes finis, qu’au moyen d’intégrales définies, faisons

$\mathrm {U} =\int \varphi dte^{-\mu t}\,;$

$\varphi$ étant une fonction de $t$ et de $r',$ on aura

$2\mu {\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial \mu }}=2e^{-\mu t}t\varphi -2\int e^{-\mu t}(\varphi dt+td\varphi ),\qquad {\frac {\partial ^{2}\mathrm {U} }{\partial \mu ^{2}}}=\int e^{-\mu t}t^{2}\varphi dt\,;$

1. Œuvres de Laplace, T. VIII.