être alors dans l’urne 
puisque le nombre total des boules blanches des deux urnes est 
dans tous ces cas, il reste 
boules blanches dans l’urne 
le produit 
est donc une des parties de 
Il peut arriver encore que l’opération 
ième fasse sortir et entrer dans l’urne 
une boule noire, ce qui conserve dans cette urne boules blanches ; ainsi 
étant après l’opération 
ième le nombre des boules noires de l’urne 
et étant celui des mêmes boules dans l’urne on voit, parle raisonnement précédent, que 
est encore une partie de
S’il y a 
boules blanches dans l’urne après l’opération ième et que l’opération suivante en fasse sortir une boule noire et y fasse rentrer une boule blanche, il y aura boules blanches dans l’urne à l’opération ième. Le nombre des cas dans lesquels cela peut avoir lieu est le produit de 
par le nombre 
des boules noires de l’urne après l’opération ième et le nombre des boules blanches de l’urne 
après la même opération ; 
est donc encore une partie de
Enfin, s’il y a 
boules blanches dans l’urne après l’opération ième et que l’opération suivante en fasse sortir une boule blanche et y fasse rentrer une boule noire, il y aura encore, après cette dernière opération, boules blanches dans l’urne. Le nombre des cas dans lesquels cela peut arriver est le produit de 
par le nombre des boules blanches de l’urne et par le nombre des boules noires de l’urne 
est donc encore une partie de
En réunissant toutes ces parties et en égalant leur somme à 
on aura l’équation aux différences finies partielles
Quoique cette équation soit différentielle du second ordre par rapport à la variable 
son intégrale ne renferme qu’une fonction arbitraire
