ce qui donne, en négligeant les sixièmes puissances de
et ses quatrièmes puissances qui ne sont pas multipliées par
![{\displaystyle \log {\frac {(\cos \varphi )^{r+2i+1}}{\sin \varphi }}=-\log \varphi -{\frac {r+2i+{\frac {2}{3}}}{2}}\varphi ^{2}-{\frac {r+2i+{\frac {2}{3}}}{12}}\varphi ^{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f26b7334e43d649a90fac295e084492f1a95823)
En faisant donc
![{\displaystyle a^{2}={\frac {r+2i+{\frac {2}{3}}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce92acf3d2ebdf812a4b5a7f47a9962123a9c16e)
on aura
![{\displaystyle {\frac {(\cos \varphi )^{r+2i+1}}{\sin \varphi }}={\frac {1-{\cfrac {a^{2}}{6}}\varphi ^{4}}{\varphi }}e^{-a^{2}\varphi ^{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12428344ba1a3e6f20e2e032f6979ed55045fe3f)
par conséquent,
![{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi \sin r\varphi (\cos \varphi )^{r+2i+1}}{\sin \varphi }}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi \left(1-{\cfrac {a^{2}}{6}}\varphi ^{4}\right)}{\varphi }}\sin r\varphi e^{-a^{2}\varphi ^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e160e0b8191afcefbb124934d6713df6f2b0a2f)
Cette dernière intégrale peut être prise depuis
jusqu’à
infini, car elle doit être prise depuis
jusqu’à
or,
étant un nombre considérable,
devient excessivement petit lorsqu’on y fait
en sorte qu’on peut le supposer nul, vu l’extrême rapidité avec laquelle cette exponentielle diminue lorsque
augmente. Maintenant on a
![{\displaystyle {\frac {d}{dr}}\int _{0}^{\infty }{\frac {d\varphi \left(1-{\cfrac {a^{2}}{6}}\varphi ^{4}\right)}{\varphi }}\sin r\varphi e^{-a^{2}\varphi ^{2}}=\int _{0}^{\infty }d\varphi \left(1-{\frac {a^{2}}{6}}\varphi ^{4}\right)e^{-a^{2}\varphi ^{2}}\cos r\varphi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff57d1b7af1be09126d3e3eed00fd26daa64c94c)
on a d’ailleurs, par l’article II,
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }d\varphi \cos r\varphi e^{-a^{2}\varphi ^{2}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2a}}e^{\frac {-r^{2}}{4a^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cbf7d84156bbe7e53e5bc0d79b7887a2e770333)
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\varphi ^{4}d\varphi \cos r\varphi e^{-a^{2}\varphi ^{2}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2a}}{\frac {d^{4}}{dr^{4}}}e^{\frac {-r^{2}}{4a^{2}}}={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{8a^{5}}}e^{\frac {-r^{2}}{4a^{2}}}\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}+{\frac {r^{4}}{12a^{4}}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a58505f226a090ebcd2359c41a475083cfaa05e)
d’où l’on tire, en supposant ![{\displaystyle {\frac {r^{2}}{4a^{2}}}=t^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dea6487232aafa24f85f8eddda89f540720fad3)
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {d\varphi \sin r\varphi (\cos \varphi )^{r+2i+1}}{\sin \varphi }}={\sqrt {\pi }}\left[\int _{0}^{\mathrm {T} }dte^{-t^{2}}-{\frac {te^{-t^{2}}}{8a^{2}}}\left(1-{\frac {2}{3}}t^{2}\right)\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4035ec8381d2cfa77e2802322a281b04683c2c73)