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En prenant les intégrales depuis $z=-\infty$ jusqu’à $z=\infty ,$ on a

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-z^{2}}={\sqrt {\pi }},\qquad \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {zdze^{-z^{2}}}{\sqrt {z^{2}+2r}}}=0\,;$

on a donc

${\sqrt {\pi }}e^{r}\int _{0}^{\infty }dye^{-\left({\frac {2y^{2}+r}{2y}}\right)^{2}}={\sqrt {\pi }}e^{r}\int _{0}^{\infty }dze^{-z^{2}-2r}={\frac {\pi e^{-r}}{2}},$

partant

$\int _{0}^{\infty }{\frac {dx\cos rx}{1+x^{2}}}={\frac {\pi }{2e^{r}}}.$

En différenciant par rapport à $r,$ on a

$\int _{0}^{\infty }{\frac {xdx\sin rx}{1+x^{2}}}={\frac {\pi }{2e^{r}}},$

ce qui donne

$\int _{0}^{\infty }{\frac {dx(\cos rx+x\sin rx)}{1+x^{2}}}={\frac {\pi }{e^{r}}}\,;$

en faisant $r=1,$ on aura le théorème que j’ai donné dans les Mémoires de l’Académie des Sciences, année 1782, page 59 ^[1].

Si l’on fait $rx=t,$ on aura

$\int _{0}^{\infty }{\frac {dx\cos rx}{1+x^{2}}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {rdt\cos t}{r^{2}+t^{2}}},$

partant

$\int _{0}^{\infty }{\frac {dt\cos t}{r^{2}+t^{2}}}={\frac {\pi e^{-r}}{2r}}.$

Soit $r^{2}=q,$ on aura en différenciant $i-1$ fois par rapport à $q$ l’équation précédente, et restituant pour $t$ sa valeur $rx,$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {dx\cos rx}{\left(1+x^{2}\right)^{i}}}={\frac {(-1)^{i-1}q^{i-{\frac {1}{2}}}}{1.2.3\ldots (i-1)}}{\frac {\pi }{2}}{\frac {d^{i-1}}{dq^{i-1}}}{\frac {e^{-{\sqrt {q}}}}{\sqrt {q}}}\,;$

on pourra donc intégrer généralement, depuis $x$ nul jusqu’à $x$ infini, la différentielle

${\frac {\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} x^{2}+\mathrm {C} x^{4}+\ldots +\mathrm {H} x^{2i-2}\right)dx\cos rx}{\left(1+x^{2}\right)^{i}}},$

1. Œuvres de Laplace, T. X, p. 264.