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II.

Considérons présentement l’intégrale $\int _{0}^{\infty }dx\cos rxe^{-a^{2}x^{2}}.$ Si l’on nomme $y$ cette intégrale, on aura

${\begin{aligned}{\frac {dy}{dr}}=&-\int _{0}^{\infty }xdx\sin rxe^{-a^{2}x^{2}}\\=&\left({\frac {1}{2a^{2}}}\sin rxe^{-a^{2}x^{2}}\right)_{0}^{\infty }-{\frac {r}{2a^{2}}}\int _{0}^{\infty }dx\cos rxe^{-a^{2}x^{2}}\,;\end{aligned}}$

on aura donc

${\frac {dy}{dr}}+{\frac {r}{2a^{2}}}y=0.$

L’intégrale de cette équation est

$y=\mathrm {B} e^{\frac {-r^{2}}{4a^{2}}},$

$\mathrm {B}$ étant une constante arbitraire ; pour la déterminer, on observera que, si l’on fait $r$ nul, $\cos rx$ devient l’unité, et l’on a

$\nu =\int _{0}^{\infty }dxe^{-a^{2}x^{2}}\,;$

cette dernière intégrale est, comme on sait, égale à ${\frac {\sqrt {\pi }}{2a}}\,;$ donc

$\mathrm {B} ={\frac {\sqrt {\pi }}{2a}}\,;$

on a donc

$\int _{0}^{\infty }dx\cos rxe^{-a^{2}x^{2}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2a}}e^{\frac {-r^{2}}{4a^{2}}}.$

De là on tire

$\int _{0}^{\infty }x^{2n}dx\cos rxe^{-a^{2}x^{2}}=\pm {\frac {\sqrt {\pi }}{2a}}{\frac {d^{2n}}{dr^{2n}}}e^{\frac {-r^{2}}{4a^{2}}},$

le signe $+$ ayant lieu si $n$ est pair, et le signe $-$ si $n$ est impair ; on aura pareillement, en différenciant par rapport à $r,$

$\int _{0}^{\infty }x^{2n+1}dx\sin rxe^{-a^{2}x^{2}}=\mp {\frac {\sqrt {\pi }}{2a}}{\frac {d^{2n+1}}{dr^{2n+1}}}e^{\frac {-r^{2}}{4a^{2}}}.$