on a donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {dxe^{-ax}}{x^{\omega }}}\left(\cos rx-{\sqrt {-1}}\sin rx\right)\\&\quad {\frac {k}{\left(a^{2}+r^{2}\right)^{\frac {1-\omega }{2}}}}\left[\cos(1-\omega )\mathrm {A} -{\sqrt {-1}}\sin(1-\omega )\mathrm {A} \right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90047fef808e2696179f24b67a47268b582a8485)
En comparant séparément les quantités réelles et les imaginaires, on a ces deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {dx\cos rxe^{-ax}}{x^{\omega }}}=&{\frac {k}{\left(a^{2}+r^{2}\right)^{\frac {1-\omega }{2}}}}\cos(1-\omega )\mathrm {A} ,\\\int _{0}^{\infty }{\frac {dx\sin rxe^{-ax}}{x^{\omega }}}=&{\frac {k}{\left(a^{2}+r^{2}\right)^{\frac {1-\omega }{2}}}}\sin(1-\omega )\mathrm {A} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7282feee9e65015109d70fed9269acde2479ee5e)
Si
est nul,
sera infini, et le plus petit angle dont il est la tangente sera
étant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité ; on a donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {dx\cos rx}{x^{\omega }}}=&{\frac {k}{r^{1-\omega }}}\cos {\frac {(1-\omega )\pi }{2}},\\\int _{0}^{\infty }{\frac {dx\sin rx}{x^{\omega }}}=&{\frac {k}{r^{1-\omega }}}\sin {\frac {(1-\omega )\pi }{2}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd26f6ff82ee92cc37d7ee7f618b10ae9cb0b899)
Dans le cas de
on a, en faisant ![{\displaystyle s^{\frac {1}{2}}=t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03ae129f18416e7fcb20383ac656edc9b184dbe8)
![{\displaystyle k=\int _{0}^{\infty }{\frac {ds}{s^{\frac {1}{2}}}}e^{-s}=2\int _{0}^{\infty }dte^{-t^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bdfb2f0e0ab242fd121a7509d16d1f7a83e6e85)
Ce dernier membre est
on a donc
si l’on suppose ensuite
on aura
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx\cos x}{\sqrt {x}}}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx\sin x}{\sqrt {x}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac2cc2dcc8cb90b53cc1a384f2ccb53e2ac9a849)
Euler est parvenu à toutes ces équations dans le Tome IV de son Calcul intégral, publié en 1794, par la considération du passage du réel à l’imaginaire.