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on a donc

${\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {dxe^{-ax}}{x^{\omega }}}\left(\cos rx-{\sqrt {-1}}\sin rx\right)\\&\quad {\frac {k}{\left(a^{2}+r^{2}\right)^{\frac {1-\omega }{2}}}}\left[\cos(1-\omega )\mathrm {A} -{\sqrt {-1}}\sin(1-\omega )\mathrm {A} \right].\end{aligned}}$

En comparant séparément les quantités réelles et les imaginaires, on a ces deux équations

${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {dx\cos rxe^{-ax}}{x^{\omega }}}=&{\frac {k}{\left(a^{2}+r^{2}\right)^{\frac {1-\omega }{2}}}}\cos(1-\omega )\mathrm {A} ,\\\int _{0}^{\infty }{\frac {dx\sin rxe^{-ax}}{x^{\omega }}}=&{\frac {k}{\left(a^{2}+r^{2}\right)^{\frac {1-\omega }{2}}}}\sin(1-\omega )\mathrm {A} .\end{aligned}}$

Si $a$ est nul, ${\frac {r}{a}}$ sera infini, et le plus petit angle dont il est la tangente sera ${\frac {\pi }{2}},$ $\pi$ étant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité ; on a donc

${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {dx\cos rx}{x^{\omega }}}=&{\frac {k}{r^{1-\omega }}}\cos {\frac {(1-\omega )\pi }{2}},\\\int _{0}^{\infty }{\frac {dx\sin rx}{x^{\omega }}}=&{\frac {k}{r^{1-\omega }}}\sin {\frac {(1-\omega )\pi }{2}}.\end{aligned}}$

Dans le cas de $\omega ={\frac {1}{2}},$ on a, en faisant $s^{\frac {1}{2}}=t,$

$k=\int _{0}^{\infty }{\frac {ds}{s^{\frac {1}{2}}}}e^{-s}=2\int _{0}^{\infty }dte^{-t^{2}}.$

Ce dernier membre est ${\sqrt {\pi }}\,;$ on a donc $k={\sqrt {\pi }}\,;$ si l’on suppose ensuite $r=1,$ on aura

$\int _{0}^{\infty }{\frac {dx\cos x}{\sqrt {x}}}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx\sin x}{\sqrt {x}}}.$

Euler est parvenu à toutes ces équations dans le Tome IV de son Calcul intégral, publié en 1794, par la considération du passage du réel à l’imaginaire.