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d’où l’on tire

$\int {\frac {dxe^{-ax}}{x^{\omega }}}\left(\cos rx-{\sqrt {-1}}\sin rx\right)$

$={\frac {k}{a^{1-\omega }}}\left\{1-{\frac {(1-\omega )(2-\omega )}{1.2}}{\frac {r^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(1-\omega )(2-\omega )(3-\omega )(4-\omega )}{1.2.3.4}}{\frac {r^{4}}{a^{4}}}-\ldots \right.$

$\left.-{\sqrt {-1}}\left[{\frac {1-\omega }{1}}{\frac {r}{a}}-{\frac {(1-\omega )(2-\omega )(3-\omega )}{1.2.3}}{\frac {r^{3}}{a^{3}}}+\ldots \right]\right\}.$

Si l’on fait ${\frac {r}{a}}=t,$ le second membre de cette équation devient

${\frac {k}{a^{1-\omega }\left(1+t{\sqrt {-1}}\right)^{1-\omega }}}.$

Soit $\mathrm {A}$ un angle dont $t$ est la tangente, on aura

$\sin \mathrm {A} ={\frac {t}{\sqrt {1+t^{2}}}},\qquad \cos \mathrm {A} ={\frac {1}{\sqrt {1+t^{2}}}},$

par conséquent

$\cos \mathrm {A} -{\sqrt {-1}}\sin \mathrm {A} ={\frac {1-t{\sqrt {-1}}}{\sqrt {1+t^{2}}}}={\frac {\sqrt {1+t^{2}}}{1+t{\sqrt {-1}}}},$

ce qui donne, par le théorème connu,

$\cos(1-\omega )\mathrm {A} -{\sqrt {-1}}\sin(1-\omega )\mathrm {A} ={\frac {\left(1-t^{2}\right)^{\frac {1-\omega }{2}}}{\left(1+t{\sqrt {-1}}\right)^{1-\omega }}}\,;$

la tangente $t$ est non seulement la tangente de l’angle $\mathrm {A} ,$ mais encore celle du même angle augmenté d’un multiple quelconque de la demi circonférence ; mais, le premier membre de cette équation devant se réduire à l’unité lorsque $t$ est nul, il est clair que l’on doit prendre pour $\mathrm {A}$ le plus petit des angles positifs dont $t$ est la tangente.

Maintenant cette équation donne, en y restituant ${\frac {r}{a}}$ au lieu de $t,$

${\frac {k}{a^{1-\omega }\left(1+t{\sqrt {-1}}\right)^{1-\omega }}}={\frac {k}{\left(a^{2}+r^{2}\right)^{\frac {1-\omega }{2}}}}\left[\cos(1-\omega )\mathrm {A} -{\sqrt {-1}}\sin(1-\omega )\mathrm {A} \right]\,;$