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cette condition, l’analyse conduit à ce résultat remarquable, savoir que, si l’on prépare chaque équation de condition de manière que son second membre soit zéro, la somme des carrés des premiers membres est un minimum, en y faisant varier successivement chaque correction. Ainsi cette méthode, que MM. Legendre et Gauss ont proposée, et qui, jusqu’à présent, ne présentait que l’avantage de fournir, sans aucun tâtonnement, les équations finales nécessaires pour corriger les éléments, donne en même temps les corrections les plus précises.

I.

Sur les intégrales définies.

Considérons l’intégrale définie

$\int _{0}^{\infty }{\frac {dxe^{-ax}}{x^{\omega }}}\left(\cos rx-{\sqrt {-1}}\sin rx\right)\quad {\text{ou}}\quad \int _{0}^{\infty }{\frac {dxe^{-ax-rx{\sqrt {-1}}}}{x^{\omega }}},$

$e$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité. En réduisant $e^{-rx{\sqrt {-1}}}$ en série, elle devient

${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {dxe^{-ax}}{x^{\omega }}}&\left[1-{\frac {r^{2}x^{2}}{1.2}}-{\frac {r^{4}x^{4}}{1.2.3.4}}-{\frac {r^{6}x^{6}}{1.2.3.4.5.6}}+\ldots \right.\\&\quad \left.-rx{\sqrt {-1}}\left(1-{\frac {r^{2}x^{2}}{1.2.3}}+{\frac {r^{4}x^{4}}{1.2.3.4.5}}+\ldots \right)\right].\end{aligned}}$

Or on a généralement

$\int _{0}^{\infty }x^{i-\omega }dxe^{-ax}={\frac {(1-\omega )(2-\omega )\ldots (i-\omega )}{a^{i}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dxe^{-ax}}{x^{\omega }}}\,;$

en faisant ensuite $ax=s,$ on a

$\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{\omega }}}e^{-ax}={\frac {1}{a^{1-\omega }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {ds}{s^{\omega }}}e^{-s}.$

En nommant donc $k$ cette dernière intégrale, on aura

$\int _{0}^{\infty }x^{i-\omega }dxe^{-ax}={\frac {(1-\omega )(2-\omega )\ldots (i-\omega )}{a^{i+1-\omega }}}k,$