questions de probabilités. Le troisième problème est relatif au milieu qu’il faut choisir entre les résultats donnés par diverses observations : c’est l’un des plus utiles de toute l’analyse des hasards, et, par cette raison, je le traité avec étendue ; j’ose croire que mon analyse intéressera les géomètres.
Lorsque l’on veut corriger par l’ensemble d’un grand nombre d’observations plusieurs éléments déjà connus à peu près, on s’y prend de la manière suivante. Chaque observation étant une fonction des éléments, on substitue dans cette fonction leurs valeurs approchées, augmentées respectivement de petites corrections qu’il s’agit de connaître. En développant ensuite la fonction en série, par rapport à ces corrections, et négligeant leurs carrés et leurs produits, on égale la série à l’observation, ce qui donne une première équation de condition entre les corrections des éléments. Une seconde observation fournit une équation de condition semblable, et ainsi du reste. Si les observations étaient rigoureuses, il suffirait d’en employer autant qu’il y a d’éléments ; mais, vu les erreurs dont elles sont susceptibles, on en considère un grand nombre, afin de compenser les unes par les autres ces erreurs, dans les valeurs des corrections que l’on déduit de leur ensemble. Mais de quelle manière faut-il combiner entre elles les équations de condition pour avoir les corrections les plus précises ? C’est ici que l’analyse des probabilités peut être d’un grand secours. Toutes les manières de combiner ces équations se réduisent à les multiplier chacune par un facteur particulier et à faire une somme de tous ces produits : on forme ainsi une première équation finale entre les corrections des éléments. Un second système de facteurs donne une seconde équation finale, et ainsi de suite jusqu’à ce que l’on ait autant d’équations finales que d’éléments dont on déterminera les corrections en résolvant ces équations. Maintenant il est visible qu’il faut choisir les systèmes de facteurs, de sorte que l’erreur moyenne à craindre en plus ou en moins sur chaque élément soit un minimum. J’entends par erreur moyenne la somme des produits de chaque erreur par sa probabilité. En déterminant les facteurs par
