tiplient. Cette recherche, la plus délicate de la théorie des hasards, mérite l’attention des géomètres par l’analyse qu’elle exige, et celle des philosophes, en faisant voir comment la régularité finit par s’établir dans les choses même qui nous paraissent entièrement livrées au hasard, et en nous dévoilant les causes cachées, mais constantes, dont cette régularité dépend.
La considération des intégrales définies par lesquelles les quantités sont représentées dans la théorie de l’approximation des formules fonctions de très grands nombres m’a conduit aux valeurs de plusieurs intégrales définies que j’ai données dans les Mémoires de l’Académie des Sciences pour l’année 1782 [1], et qui offrent cela de remarquable, savoir qu’elles dépendent à la fois de ces deux transcendantes : le rapport de la circonférence au diamètre et le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité. J’ai obtenu ces valeurs par une analogie singulière, fondée sur les passages du réel à l’imaginaire, passages qui peuvent être considérés comme moyens de découvertes, dont les premières applications ont paru, si je ne me trompe, dans les Mémoires cités et qui ont conduit aux valeurs de diverses intégrales définies dépendantes des sinus et cosinus. Mais ces moyens, comme celui de l’induction, quoique employés avec beaucoup de précaution et de réserve, laissent toujours à désirer des démonstrations directes de leurs résultats. M. Poisson vient d’en donner plusieurs dans le Bulletin de la Société philomatique du mois de mars de cette année 1811. Je me propose ici de trouver directement toutes ces valeurs, et celles d’intégrales définies, plus générales encore, et qui me semblent pouvoir intéresser les géomètres.
La recherche de ces valeurs n’est point un simple jeu de l’Analyse : elle est d’une grande utilité dans la théorie des probabilités. J’en fais ici l’application à trois problèmes de ce genre, qu’il serait très difficile de résoudre par d’autres méthodes. Le second de ces problèmes est remarquable en ce que sa solution offre le premier exemple de l’emploi du calcul aux différences infiniment petites partielles, dans les
- ↑ Œuvres de Laplace, T. X.
