ralisé les procédés par l’invention de son théorème du binôme ; enfin, presqu’en même temps, Leibnitz a enrichi le Calcul différentiel d’une notation très heureuse, et qui s’est adaptée d’elle-même à l’extension que le Calcul différentiel a reçue par la considération des différentielles partielles. La tangue de l’Analyse, la plus parfaite de toutes, étant par elle-même un puissant instrument de découvertes, ses notations, lorsqu’elles sont nécessaires et heureusement imaginées, sont les germes de nouveaux calculs. Ainsi la simple idée qu’eut Descartes d’indiquer les puissances des quantités, représentées par des lettres, en écrivant vers le haut de ces lettres les nombres qui expriment le degré de ces puissances, a donné naissance au Calcul exponentiel ; et Leibnitz a été conduit, par sa notation, à l’analogie singulière des puissances et des différences. Le calcul des fonctions génératrices, qui donne la véritable origine de cette analogie, offre tant d’exemples de ce transport des exposants des puissances aux caractéristiques, qu’il peut encore être considéré comme le calcul exponentiel des caractéristiques.
Le calcul des fonctions génératrices est le fondement d’une théorie que je me propose de publier bientôt sur les probabilités. Les questions relatives aux événements dus au hasard se ramènent le plus souvent avec facilité à des équations aux différences : la première branche de ce calcul en fournit les solutions les plus générales et les plus simples. Mais, lorsque les événements que l’on considère sont en très grand nombre, les formules auxquelles on est conduit se composent d’une si grande multitude de termes et de facteurs, que leur calcul numérique devient impraticable. Il est alors indispensable d’avoir une méthode qui transforme ces formules en séries convergentes. C’est ce que la seconde branche du calcul des fonctions génératrices fait avec d’autant plus d’avantage que la méthode devient plus nécessaire. Par ce moyen, on peut déterminer avec facilité les limites de la probabilité des résultats et des causes, indiqués par les événements considérés en grand nombre, et les lois suivant lesquelles cette probabilité approche de ses limites, à mesure que les événements se mul-
