théories des fonctions génératrices et des approximations des formules fonctions de très grands nombres peuvent être considérées comme les deux branches d’un même calcul, que je désigne par le nom de calcul des fonctions génératrices. Ce qu’Arbogast a nommé Méthode de séparation des échelles d’opérations est renfermé dans la première partie du calcul des fonctions génératrices, qui donne à la fois la démonstration et la vraie métaphysique de cette méthode. Ce que Kramp et d’autres ont nommé facultés numériques, et ce qu’Euler a nommé fonctions inexplicables, se rattachent à la seconde partie, avec cet avantage, que ces facultés et ces fonctions inexplicables, mises sous la forme d’intégrales définies, présentent alors des idées claires, et sont susceptibles de toutes les opérations de l’Analyse.
Le calcul des fonctions génératrices s’étend aux différences infiniment petites ; car, si l’on développe tous les termes d’une équation aux différences par rapport aux puissances de la différence supposée indéterminée, mais infiniment petite, et que l’on néglige les infiniment petits d’un ordre supérieur relativement à ceux d’un ordre inférieur, on aura une équation aux différences infiniment petites, dont l’intégrale est celle de l’équation aux différences finies, dans laquelle on néglige pareillement les infiniment petits par rapport aux quantités finies.
Les quantités qu’on néglige dans ces passages du fini à l’infiniment petit semblent ôter au Calcul infinitésimal la rigueur des résultats géométriques ; mais, pour la lui rendre, il suffit d’envisager les quantités que l’on conserve dans le développement d’une équation aux différences finies et de son intégrale, par rapport aux puissances de la différence indéterminée, comme ayant toutes pour facteur la plus petite puissance dont on compare entre eux les coefficients. Cette comparaison étant rigoureuse, le Calcul différentiel, qui n’est évidemment que cette comparaison même, à toute la rigueur des autres opérations algébriques. Mais la considération des infiniment petits de différents ordres, la facilité de les reconnaître, a priori, par l’inspection seule des grandeurs, et l’omission des infiniment petits d’un ordre supé-
