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d’où il suit que l’ordonnée qui répond à $z$ nul est la plus grande, et divise l’aire entière de la courbe en parties égales. Ainsi $\mathrm {A+X}$ est le résultat moyen qu’il faut prendre entre les résultats $\mathrm {A} ,\mathrm {A} +q,\mathrm {A} +q',\ldots .$ La valeur précédente de $\mathrm {X}$ est celle qui rend un minimum la fonction

$(p\mathrm {X} )^{2}+[p'(q-\mathrm {X} )]^{2}+[p''(q'-\mathrm {X} )]^{2}+\ldots ,$

c’est-à-dire la somme des carrés des erreurs de chaque résultat, multipliées respectivement par la plus grande ordonnée de la courbe de facilité de ses erreurs. Ainsi cette propriété, qui n’est qu’hypothétique lorsqu’on ne considère que des résultats donnés par une seule observation ou par un petit nombre d’observations, devient nécessaire lorsque les résultats entre lesquels on doit prendre un milieu sont donnés chacun par un très grand nombre d’observations, quelles que soient d’ailleurs les lois de facilité des erreurs de ces observations. C’est une raison pour l’employer dans tous les cas.

On aura la probabilité que l’erreur du résultat $\mathrm {A+X}$ sera comprise dans les limites $\pm \mathrm {Z} ,$ en prenant dans ces limites l’intégrale $\int dze^{-\mathrm {N} z^{2}}$ et en la divisant par la même intégrale, prise depuis $z=-\infty$ jusqu’à $z=\infty .$ Cette dernière intégrale est ${\frac {\sqrt {\pi }}{\sqrt {\mathrm {N} }}}\,;$ en faisant donc $z{\sqrt {\mathrm {N} }}=t$ et $\mathrm {Z{\sqrt {N}}=T} ,$ la probabilité que l’erreur du résultat choisi $\mathrm {A+X}$ sera comprise dans les limites $\pm \mathrm {\frac {T}{\sqrt {N}}}$ sera

${\frac {2\int dte^{-t^{2}}}{\sqrt {\pi }}},$

l’intégrale étant prise depuis $t$ nul jusqu’à $t=\mathrm {T} .$ La valeur de $\mathrm {N}$ est, par ce qui précède,

$\pi \left(p^{2}+p'^{2}+p''^{2}+\ldots \right).$