du premier résultat sera et que les autres résultats s’écarteront du premier, respectivement de sera, par la théorie des probabilités, égale au produit donc, si l’on construit une courbe dont l’ordonnée y soit égale à ce produit, les ordonnées de cette courbe seront proportionnelles aux probabilités des abscisses, et, par cette raison, nous la nommerons courbe des probabilités.
Pour déterminer le point de l’axe des abscisses où l’on doit fixer le milieu entre les résultats des observations nous observerons que ce point est celui où l’écart de la vérité, que l’on peut craindre, est un minimum ; or, de même que, dans la théorie des probabilités, on évalue la perte à craindre en multipliant chaque perte que l’on peut éprouver par sa probabilité, et en faisant une somme de tous ces produits, de même on aura la valeur de l’écart à craindre en multipliant chaque écart de la vérité, ou chaque erreur, abstraction faite du signe, par sa probabilité, et en faisant une somme de tous ces produits. Soient donc la distance du point qu’il faut choisir à l’origine de la courbe des probabilités, et l’abscisse correspondante à et comptée de la même origine ; le produit de chaque erreur par sa probabilité, abstraction faite du signe, sera depuis jusqu’à et ce produit sera depuis jusqu’à l’extrémité de la courbe. On aura donc
pour la somme de tous ces produits, la première intégrale étant prise depuis nul jusqu’à et la seconde étant prise depuis jusqu’à la dernière valeur de En différenciant la somme précédente par rapport à il est facile de s’assurer que l’on aura
pour cette différentielle, qui doit être nulle dans le cas du minimum ; on a donc alors
