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En substituant cette valeur dans l’équation précédente et prenant ${\frac {1-{\sqrt {-1}}}{\sqrt {2}}}$ au lieu de $(-1)^{\frac {3}{4}},$ on aura, en comparant les quantités réelles aux réelles et les imaginaires aux imaginaires, la double équation

${\begin{aligned}&{\frac {\left(n\pm r{\sqrt {n}}\right)^{n-{\frac {1}{2}}}-n\left(n\pm r{\sqrt {n}}-2\right)^{n-{\frac {1}{2}}}+\ldots }{1.3.5\ldots (2n-1)}}\\&\qquad ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int {\frac {1}{\sqrt {x''}}}\left(\cos rx''{\sqrt {n}}\pm \sin rx''{\sqrt {n}}\right)\left({\frac {\sin x''}{x''}}\right)^{n}dx''.\end{aligned}}$

Si l’on réduit en série ${\frac {\sin x''}{x''}},$ et si l’on fait $x''={\frac {t}{\sqrt {n}}},$ on aura

$1-{\frac {t^{2}}{6n}}+\ldots \,;$

on pourra donc substituer $e^{\frac {-t^{2}}{6}}$ au lieu de $\left({\frac {\sin x''}{x''}}\right)^{n},$ et alors le second membre de l’équation précédente devient

${\frac {1}{n^{\frac {1}{4}}{\sqrt {2\pi }}}}\int {\frac {1}{\sqrt {t}}}(\cos rt\pm \sin rt)e^{\frac {-t^{2}}{6}},$

ce qui coïncide avec les résultats de l’article précédent.

En généralisant cette analyse, on parviendra facilement à cette expression rigoureuse, $i$ étant moindre que l’unité et les puissances des quantités négatives étant exclues,

${\frac {1}{(1-i)(2-i)\ldots (n-i)2^{n-1}}}\left[\left(n+r{\sqrt {n}}\right)^{n-i}-n\left(n+r{\sqrt {n}}-2\right)^{n-i}\right.$

$\left.+{\frac {n(n-1)(n-2)}{1.2}}\left(n+r{\sqrt {n}}-4\right)^{n-i}-\ldots \right]$

$={\frac {i.2^{i}}{k\sin i\pi }}\int {\frac {1}{x^{1-i}}}\sin \left(rx{\sqrt {n}}+{\frac {i\pi }{2}}\right)\left({\frac {\sin x}{x}}\right)^{n}dx,$

l’intégrale étant prise depuis $x$ nul jusqu’à $x$ infini, et $k$ étant l’intégrale $\int e^{-x{\frac {1}{i}}}dx$ prise dans les mêmes limites. On aura, par des différentiations successives, les valeurs relatives à $i$ plus grand que l’unité.