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$\cos {\frac {(2l-1)\pi }{2f}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {(2l-1)\pi }{2f}},$ $l$ pouvant encore s’étendre depuis $l=1$ jusqu’à $l=2f.$ Mais, ayant choisi $l=2f$ pour avoir $1^{\frac {1}{2f}},$ nous devons pareillement choisir cette valeur de $l$ pour déterminer $(-1)^{\frac {1}{2f}},$ et alors la partie imaginaire de $(-1)^{\frac {1}{2f}},$ devient ${\sqrt {-1}}\sin {\frac {(4f-1)\pi }{2f}}\,;$ dans le cas de $f$ infini, elle devient $-{\sqrt {-1}}{\frac {\pi }{2f}}\,;$ ce qui donne, en né gligeant les termes de l’ordre ${\frac {1}{f^{2}}},$

${\frac {\pi {\sqrt {-1}}}{2f}}\left[\left(n+r{\sqrt {n}}\right)^{n-1}-n\left(n+r{\sqrt {n}}-2\right)^{n-1}+\ldots \right],$

pour la partie imaginaire de l’expression précédente de

$2^{n-1+{\frac {1}{2f}}}\triangle ^{n}s^{n-1+{\frac {1}{2f}}}.$

En l’égalant à la partie imaginaire de l’expression donnée par l’équation (z), on aura

${\frac {\left(n+r{\sqrt {n}}\right)^{n-1}-n\left(n+r{\sqrt {n}}-2\right)^{n-1}+\ldots }{1.2.3\ldots (n-1)2^{n}}}$

$={\frac {1}{\pi }}\int \cos r.x'{\sqrt {n}}\left({\frac {\sin x'}{x'}}\right)^{n}dx'.$

Le second membre de cette équation étant intégré par la méthode de l’article III, on aura les mêmes résultats que ci-dessus.

Supposons maintenant, dans l’équation $x,\ f=1,$ on aura, en y changeant $x'$ en $-x''$ dans le numérateur du second membre, et observant que l’intégrale $\int {\frac {1}{\sqrt {x'}}}e^{-x'}dx'$ du dénominateur est égale à ${\sqrt {\pi }},$

$\triangle ^{n}s^{n-{\frac {1}{2}}}={\frac {1.3.5\ldots (2n-1)}{2^{n-1}{\sqrt {2\pi }}}}(-1)^{\frac {3}{4}}$

$\times \int {\frac {1}{\sqrt {x''}}}\left(\cos rx''{\sqrt {n}}-{\sqrt {-1}}\sin rx''{\sqrt {n}}\right)\left({\frac {\sin x''}{x''}}\right)^{n}dx''.$

Ici les intégrales doivent être prises depuis $x''$ nul jusqu’à $x''$ infini. On a, en excluant les puissances des quantités négatives,

${\begin{aligned}2^{n-{\frac {1}{2}}}\triangle ^{n}s^{n-{\frac {1}{2}}}=&\left(n-r{\sqrt {n}}\right)^{n-{\frac {1}{2}}}-n\left(n-r{\sqrt {n}}-2\right)^{n-{\frac {1}{2}}}+\ldots \\&-{\sqrt {-1}}\left[\left(n+r{\sqrt {n}}\right)^{n-{\frac {1}{2}}}-n\left(n+r{\sqrt {n}}-2\right)^{n-{\frac {1}{2}}}+\ldots \right].\end{aligned}}$