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$x$ infini, on a

${\frac {(-1)^{i'}e^{-s\alpha }}{{\cfrac {1}{2f}}\left({\cfrac {1}{2f}}+1\right)\left({\cfrac {1}{2f}}+2\right)\ldots (n-i)\alpha ^{\frac {1}{2f}}}}$

$\times \left[s^{i'}-{\frac {1}{2f}}{\frac {s^{i'-1}}{\alpha }}+{\frac {1}{2f}}\left({\frac {1}{2f}}+1\right){\frac {s^{i'-2}}{\alpha ^{2}}}+\ldots \right.$

$\left.+(-1)^{i'}{\frac {1}{2f}}\left({\frac {1}{2f}}+1\right)\ldots (n-i){\frac {1}{\alpha ^{i'}}}\right]$

$+{\frac {(-1)^{i'+1}s^{i'+1}\int {\cfrac {dxe^{-sx}}{x^{\frac {1}{2f}}}}}{{\cfrac {1}{2f}}\left({\cfrac {1}{2f}}+1\right)\ldots (n-i)}}.$

On a généralement

$\triangle ^{n}{\frac {e^{-s\alpha }}{\alpha ^{n-c}}}=0,$

lorsqu’on suppose $\alpha$ infiniment petit ; car, si l’on développe $e^{-s\alpha }$ dans une série ordonnée par rapport aux puissances de $s\alpha ,$ toutes les puissances de $s$ inférieures à $n$ deviennent nulles dans la fonction $\triangle ^{n}{\frac {e^{-s\alpha }}{\alpha ^{n-c}}},$ et toutes les puissances égales à $n$ ou supérieures sont nulles par la supposition de $\alpha$ infiniment petit. Il suit de là que $\triangle ^{n}\int {\frac {e^{-sx}dx}{x^{n-i+1}}}$ est égal à

${\frac {(-1)^{i'+1}\triangle ^{n}\left(s^{i'+1}\int {\cfrac {e^{-sx}dx}{x^{\frac {1}{2f}}}}\right)}{{\cfrac {1}{2f}}\left({\cfrac {1}{2f}}+1\right)\ldots (n-i)}},$

l’intégrale étant prise depuis $x$ nul jusqu’à $x$ infini ; or on a

$\triangle ^{n}\int {\frac {e^{-sx}dx}{x^{n-i+1}}}=\int {\frac {e^{-sx}\left(e^{-x}-1\right)^{n}dx}{x^{n-i+1}}}\,;$

en faisant ensuite $x={\frac {x'}{s}},$ on a

$\int {\frac {e^{-sx}dx}{x^{\frac {1}{2f}}}}=s^{{\frac {1}{2f}}-1}\int {\frac {e^{-x'}dx'}{x'^{\frac {1}{2f}}}},$

les deux intégrales étant prises depuis $x$ et $x'$ nuls jusqu’à leurs