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un très grand nombre, l’expression de $\varphi (r,n)$ devient

${\frac {k}{in^{\frac {1}{2}}}}\left(a\cos {\frac {i\pi }{2}}+b\sin {\frac {i\pi }{2}}\right).$

En l’égalant à ${\frac {2^{i}}{n^{i}}},$ on aura

$a\cos {\frac {i\pi }{2}}+b\sin {\frac {i\pi }{2}}={\frac {i.2^{i}}{kn^{\frac {i}{2}}}}.$

En faisant ensuite $r=-{\sqrt {n}}$ dans $\varphi (r,n),$ il se réduit à zéro ; mais alors, dans son expression en intégrale définie, $\sin rx$ se change dans $-\sin x{\sqrt {n}}.$ De là il est facile de conclure que l’on a

$0=a\cos {\frac {i\pi }{2}}-b\sin {\frac {i\pi }{2}},$

par conséquent

$a={\frac {i.2^{i}}{2kn^{\frac {i}{2}}\cos {\frac {i\pi }{2}}}},\qquad b={\frac {i.2^{i}}{2kn^{\frac {i}{2}}\sin {\frac {i\pi }{2}}}}.$

On a donc

$\varphi (r,n)={\frac {i.2^{i}}{kn^{\frac {i}{2}}\sin i\pi }}\int \left(\sin {\frac {i\pi }{2}}\cos rx+\cos {\frac {i\pi }{2}}\sin rx\right){\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{6}}}dx}{x^{1-i}}}$

ou

$\varphi (r,n)={\frac {i.2^{i}}{kn^{\frac {i}{2}}\sin i\pi }}\int {\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{6}}}\sin \left(rx+{\frac {i\pi }{2}}\right)dx}{x^{1-i}}}.$

X.

On peut obtenir fort simplement tous les résultats qui précèdent par l’analyse suivante.

Considérons généralement l’intégrale $\int {\frac {e^{-sx}dx}{x^{n-i+1}}}$ prise depuis $x$ nul jusqu’à $x$ infini, $n-i$ étant égal à $i'+{\frac {1}{2f}},$ $i'$ exprimant un nombre entier positif ou zéro. En intégrant par parties, depuis $x=\alpha$ jusqu’à