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satisfera à l’équation différentielle $(u)$ en $\varphi (r,n)$ par la supposition de

$\varphi (r,n)=\int {\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{6}}}}{x^{1-i}}}(\left(a\cos x-b\sin x\right)dx,$

$a$ et $b$ étant des constantes que l’on déterminera ainsi.

En supposant $r={\sqrt {n}},$ on aura

$\varphi (r,n)={\frac {\triangle ^{n}s^{n-i}}{(1-i)(2-i)\ldots (n-i)}},$

$s$ croissant de l’unité et étant nul à l’origine. La formule $(\mu '')$ de la page 82 des Mémoires de l’Académie des Sciences pour l’année 1782 ^[1] donne, en ne considérant que son premier terme,

$\triangle ^{n}s^{n-i}=(1-i)(2-i)\ldots (n-i){\frac {2^{i}}{n^{i}}}\,;$

on a donc, dans le cas de $r={\sqrt {n}},$

$\varphi (r,n)={\frac {2^{i}}{n^{i}}}.$

Si l’on fait ensuite, dans l’expression précédente de $\varphi (r,n),$ $r={\sqrt {n}}$ et $x={\frac {x'}{\sqrt {n}}},$ elle devient

${\frac {1}{n^{\frac {i}{2}}}}\int {\frac {1}{x^{'(1-i)}}}e^{-{\frac {x^{2}}{6n}}}(a\cos x'+b\sin x')dx'\,;$

or on a, par les formules du Tome cité du Journal de l’École Polytechnique, page 250,

${\begin{aligned}\int {\frac {1}{x^{'(1-i)}}}\cos x'dx'=&{\frac {k}{i}}\cos {\frac {i\pi }{2}},\\\int {\frac {1}{x^{'(1-i)}}}\sin x'dx'=&{\frac {k}{i}}\sin {\frac {i\pi }{2}},\end{aligned}}$

$k$ étant l’intégrale $\int dte^{-t{\frac {1}{i}}}$ prise depuis $t$ nul jusqu’à $t$ infini ; en prenant donc pour l’unité le facteur $e^{-{\frac {x^{2}}{6n}}},$ comme on le peut lorsque $n$ est

1. Œuvres de Laplace, T. X, p. 285.