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nous eussions considéré celle-ci,

$\int \sin rx\Psi (x)dx,$

nous aurions trouvé pour $\Psi (x)$

${\frac {b}{\sqrt {x}}}e^{-{\frac {1}{6}}x^{2}},$

La réunion de ces deux intégrales est donc l’intégrale complète de l’équation $(u).$

Pour déterminer les constantes $a$ et $b,$ nous observerons que, si l’on fait $r={\sqrt {n}}$ et $x={\frac {x'}{\sqrt {n}}},$ l’intégrale $\int {\frac {1}{\sqrt {x}}}e^{-{\frac {x^{2}}{6}}}(a\cos rx+b\sin rx)dx$ devient

${\frac {1}{n^{\frac {1}{4}}}}\int {\frac {dx'}{\sqrt {x'}}}(a\cos x'+b\sin x')e^{-{\frac {x^{2}}{6n}}}.$

Lorsque $n$ est un très grand nombre, on peut supposer le facteur $e^{-{\frac {x^{2}}{6n}}}$ égal à l’unité, dans toute l’étendue de l’intégrale prise depuis $x'$ nul jusqu’à $x'$ infini, car alors ce facteur ne commence à s’écarter sensiblement de l’unité que lorsque $x'$ est de l’ordre ${\sqrt {n}},$ et l’intégrale, prise depuis une valeur de cet ordre pour $x'$ jusqu’à $x'$ infini, peut être négligée relativement à l’intégrale entière. Maintenant on a, comme je l’ai fait voir dans le Tome VIII du Journal de l’École Polytechnique, page 248,

$\int {\frac {dx'\cos x'}{\sqrt {x'}}}=\int {\frac {dx'\sin x'}{\sqrt {x'}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\pi }}.$

L’intégrale précédente se réduit donc à

${\frac {1}{n^{\frac {1}{4}}}}{\sqrt {2\pi }}{\frac {a+b}{2}}\,;$

c’est l’expression de $\varphi (r,n)$ lorsqu’on y fait $r={\sqrt {n}}.$ Alors on a

$\varphi (r,n)={\frac {2^{n}}{1.3.5\ldots (2n-1)}}\left[n^{n-{\frac {1}{2}}}-n(n-1)^{n-{\frac {1}{2}}}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}(n-2)^{n-{\frac {1}{2}}}-\ldots \right].$