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IX.

On peut étendre les recherches précédentes aux différences des puissances fractionnaires. Pour cela, considérons la fonction

${\begin{aligned}&(n-i)(n-i-1)(n-i-2)\ldots (f-i)2^{n-1}\\&\times \left[\left(n+r{\sqrt {n}}\right)^{n-1}-n\left(n+r{\sqrt {n}}-1\right)^{n-1}+{\frac {n.n-1}{1.2}}\left(n+r{\sqrt {n}}-4\right)^{n-1}\right],\end{aligned}}$

$i$ étant un nombre quelconque entier ou fractionnaire très petit relativement à $n,$ et $f$ étant le nombre immédiatement supérieur à $i.$ En désignant cette fonction par $\varphi (r,n),$ on aura d’abord, en suivant l’analyse précédente, l’équation $(p).$ On aura ensuite, au lieu de l’équation $(q),$ celle-ci

${\frac {n}{n-i}}\left({\frac {1}{\sqrt {n}}}+{\frac {r}{n}}\right)\varphi '(r,n)+{\frac {n}{n-i}}\varphi (r'',n-1)=\varphi (r,n).$

En combinant ces deux équations et réduisant en série, comme ci-dessus, on aura, en négligeant les puissances supérieures de ${\frac {1}{n}},$

$0=3r\varphi '(r,n-1)+\varphi ''(r,n-1)+3i\varphi (r,n-1),$

et, en changeant $n-1$ en $n,$

$(u)\qquad \qquad \qquad 0=3r\varphi '(r,n)+\varphi ''(r,n)+3i\varphi (r,n).$

On satisfait à cette équation lorsque $i$ est un nombre entier en faisant

$\varphi (r,n)=\mathrm {A} {\frac {d^{i-1}e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}}{dr^{i-1}}},$

$\mathrm {A}$ étant une constante arbitraire et la caractéristique différentielle $d$ devant être changée dans le signe intégral $\int ,$ si $i-1$ est négatif, et alors on obtient les résultats précédents ; mais, si $i$ est fractionnaire, l’intégration de l’équation $(u)$ présente plus de difficultés. On peut l’obtenir alors par des intégrales définies.