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Il s’agit de déterminer la fonction $\Pi (t)$ et les limites de l’intégrale. Pour cela, on substituera cette intégrale, au lieu de $\Psi '(s),$ dans l’équation $(x),$ et l’on fera disparaître les coefficients $s+2$ et $s$ de cette équation au moyen d’intégrations par parties ; on aura ainsi

$(y)\quad \left\{{\begin{aligned}0=&{\frac {t}{n}}\sin(s+1)t\sin t\Pi (t)\\&+\int \sin(s+1)t[(t\cos t-\sin t)\Pi (t)-{\frac {t\sin t}{n}}\Pi '(t)]dt.\end{aligned}}\right.$

Suivant la méthode citée, on détermine $\Pi (t)$ en égalant à zéro la fonction sous le signe intégral, ce qui donne

$0=(t\cos t-\sin t)\Pi (t)-{\frac {t\sin t}{n}}\Pi '(t)],$

d’où l’on tire, en intégrant,

$\Pi (t)=\mathrm {A} \left({\frac {\sin t}{t}}\right)^{n}$

et, par conséquent,

$\Psi '(s)=\mathrm {A} \int \cos st\left({\frac {\sin t}{t}}\right)^{n}dt=\mathrm {A} \int \cos rt{\sqrt {n}}\left({\frac {\sin t}{t}}\right)^{n}dt,$

$\mathrm {A}$ étant une constante arbitraire. On aura ensuite, par la même méthode, les limites de cette dernière intégrale en égalant à zéro la partie hors du signe $\int$ dans l’équation $(y)$ ; or, cette partie est nulle lorsque $t$ est nul et lorsque $t$ est infini, parce que $\Pi (t)$ devient nul alors. On peut donc prendre $t=0$ et $t=\infty$ pour ces limites. Cette expression de $\Psi '(s)$ est de la même forme que celle que nous avons trouvée dans l’article IV, pour la probabilité que la somme des inclinaisons des orbites de $n$ comètes sera ${\frac {nh}{2}}\pm {\frac {rh{\sqrt {n}}}{2}}\,;$ et, en la traitant par la méthode de l’article cité, on arrivera, pour déterminer $\varphi (r,n),$ aux mêmes formules que nous venons de donner.