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on augmente $r$ de ${\frac {2}{\sqrt {n}}}\,;$ alors $r''$ se change dans $r',$ et l’on a

$\left({\frac {1}{\sqrt {n}}}+{\frac {r+{\cfrac {2}{\sqrt {n}}}}{n}}\right)\varphi '\left(r+{\frac {2}{\sqrt {n}}},n\right)+\varphi '(r',n-1)=\varphi \left(r+{\frac {2}{\sqrt {n}}},n\right).$

En retranchant de cette équation l’équation $(q'),$ membre à membre, on a

${\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {n}}}&\left[\varphi '\left(r+{\frac {2}{\sqrt {n}}},n\right)+\varphi '(r,n)\right]+{\frac {r+{\cfrac {2}{\sqrt {n}}}}{n}}\varphi '\left(r+{\frac {2}{\sqrt {n}}},n\right)-{\frac {r}{n}}\varphi '(r,n)\\&\quad =\varphi \left(r+{\frac {2}{\sqrt {n}}},n\right)-\varphi (r,n).\end{aligned}}$

Soit $s=r{\sqrt {n}},$ et désignons $\varphi (r,n)$ par $\Psi (s),$ ce qui donne

$dr\varphi '(r,n)=ds\Psi '(s)$

et, par conséquent,

$\varphi '(r,n)={\sqrt {n}}\Psi '(s)\,;$

l’équation précédente deviendra

$\Psi '(s+2)+\Psi '(s)=\Psi (s+2)-\Psi (s)-{\frac {s+2}{n}}\Psi '(s+2)+{\frac {s}{n}}\Psi '(s).$

En différenciant, on aura

$(x)\qquad \left\{{\begin{aligned}\Psi '(s+2)+\Psi '(s)=&\left[\Psi '(s+2)-\Psi '(s)\right]{\frac {n-1}{n}}\\&-{\frac {s+2}{n}}\Psi ''(s+2)+{\frac {s}{n}}\Psi ''(s).\end{aligned}}\right.$

Cette équation est susceptible de la méthode générale que j’ai présentée dans les Mémoires de l’Académie des Sciences pour l’année 1782, page 44 ^[1]. Je fais donc, conformément à cette méthode, et en employant les cosinus au lieu d’exponentielles,

$\Psi '(s)=\int \cos st\Pi (t)dt.$

1. Œuvres de Laplace, T. X, p. 249.