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désignerons par $\mathrm {L} {\sqrt {\frac {3}{2n}}},$ $\mathrm {L}$ étant une fonction linéaire de $\mathrm {A} ,{\frac {\mathrm {B} }{n}},\ldots \,;$ mais, lorsque $r={\sqrt {n}},$ le premier membre de l’équation $(b)$ devient, quel que soit $n,$ égal à ${\frac {1}{2}}\,;$ on a donc

$\mathrm {L} {\sqrt {\frac {3}{2n}}}={\frac {1}{2}}.$

En égalant à zéro dans cette équation les coefficients des puissances successives de ${\frac {1}{n}},$ on aura autant d’équations qui détermineront les arbitraires $\mathrm {A,B} ,\ldots \,;$ ainsi $\varphi '(r,n-1)$ étant, par ce qui précède, égal à

$\left(\mathrm {A} +{\frac {\mathrm {B} }{n}}+\ldots \right)e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}+{\frac {3\mathrm {A} }{20n}}\left(6r^{2}-3r^{4}\right)e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}+\ldots ,$

on on a, en intégrant depuis $r$ nul jusqu’à $r$ infini,

$\int dr\varphi '(r,n-1)={\sqrt {\frac {\pi }{6}}}\left(\mathrm {A} +{\frac {\mathrm {B} }{n}}+{\frac {3\mathrm {A} }{20n}}+\ldots \right)\,;$

égalant cette quantité à ${\frac {1}{2}}$ et comparant les puissances de ${\frac {1}{n}},$ on a

$\mathrm {A} ={\sqrt {\frac {3}{2\pi }}},\qquad \mathrm {B} =-{\frac {3\mathrm {A} }{20}},\qquad \ldots ,$

ce qui donne

$\varphi '(r,n-1)={\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}\left[1-{\frac {3}{20n}}\left(1-6r^{2}+3r^{4}\right)+\ldots \right].$

En changeant $n$ dans $n+1$ et négligeant les quantités de l’ordre ${\frac {1}{n^{2}}},$ on aura l’expression de $\varphi '(r,n)$ qui résulte des articles III et V ; car on voit, par l’article V, que $\varphi (r,n)$ doit être un demi de la probabilité que nous avons déterminée dans l’article IV, et dont la moitié est égale à l’intégrale de $dr$ multipliée par cette expression de $\varphi '(r,n).$

VIII.

On peut réduire les équations $(q)$ et $(q')$ à une seule équation aux différences infiniment petites et finies. En effet, si dans l’équation $(q)$