rant les coefficients des puissances descendantes de
on aura les équations suivantes
![{\displaystyle 0=3r\Psi '(r)+\Psi ''(r),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62c9abefea9c70787df07cf3c66e649247222ea2)
![{\displaystyle 3r\Pi '(r)+\Pi ''(r)=-{\frac {1}{2}}r{\frac {d}{dr}}\left[3r\Psi '(r)+\Psi ''(r)\right]+3\left(\mathrm {{\overline {M}}+{\overline {N}}} \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3da43410c1e6652f6a071093af8b0506ef5a0d55)
et
étant ce que deviennent
et
lorsqu’on y change
dans
En continuant ainsi on aura les équations nécessaires pour déterminer
et les fonctions suivantes.
La première équation donne, en l’intégrant,
![{\displaystyle \Psi '(r)=\mathrm {A} e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0408dafe46f1990277d3551c9b038fff5e13df5)
étant une constante arbitraire. Pour intégrer la seconde, on doit observer que les expressions précédentes de
et de
donnent
![{\displaystyle \mathrm {\overline {M}} ={\frac {3\mathrm {A} r}{4}}\left(1-r^{2}\right)e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}},\qquad \mathrm {\overline {N}} =-{\frac {3\mathrm {A} r}{20}}\left(1-r^{2}\right)e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/825c6348c63bad1df4e30fd51a6c7c505876e9e1)
L’équation en
devient ainsi
![{\displaystyle 3r\Pi '(r)+\Pi ''(r)={\frac {36\mathrm {A} }{20}}\left(r-r^{3}\right)e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf0cf7b75ba0b902224ac1505dec4bd6388c9160)
en la multipliant par
et intégrant, on aura
![{\displaystyle \Pi '(r)=\mathrm {B} e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}+{\frac {3\mathrm {A} }{20}}\left(6r^{2}-3r^{4}\right)e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f6f66e24c72f964a86433366aac5c29f1c86dae)
étant une seconde arbitraire. On aura de la même manière
et l’on obtiendra ainsi ![{\displaystyle \varphi (r,n-1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17ddb8bd4916362a35bfedd190e7d2c5b6a2a331)
Pour déterminer les arbitraires
nous observerons que, si l’on intègre
depuis
nul jusqu’à
ce qui revient à le prendre jusqu’à
infini, parce que l’on peut négliger les termes multipliés par l’exponentielle
à cause de la grandeur supposée à
on aura pour cette intégrale une quantité que nous