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substituant cette valeur dans l’équation $(b),$ on aura

$(q)\quad \qquad \left({\frac {1}{\sqrt {n}}}+{\frac {r}{n}}\right)\varphi '(r,n)+\varphi (r'',n-1)=\varphi (r,n).$

Cette équation, combinée avec l’équation $(p),$ donne

$(q')\quad \qquad \left(-{\frac {1}{\sqrt {n}}}+{\frac {r}{n}}\right)\varphi '(r,n)+\varphi (r',n-1)=\varphi (r,n).$

On a

${\begin{aligned}r'\ =&r\left(1+{\frac {1}{2n}}+{\frac {3}{8n^{2}}}+\ldots \right)+{\frac {1}{\sqrt {n}}}\left(1+{\frac {1}{2n}}+{\frac {3}{8n^{2}}}+\ldots \right),\\r''=&r\left(1+{\frac {1}{2n}}+{\frac {3}{8n^{2}}}+\ldots \right)-{\frac {1}{\sqrt {n}}}\left(1+{\frac {1}{2n}}+{\frac {3}{8n^{2}}}+\ldots \right).\end{aligned}}$

En substituant ces valeurs dans les équations $(q)$ et $(q')$ et en développant en série les fonctions $\varphi (r',n-1)$ et $\varphi (r'',n-1),$ on voit que ces deux équations ne diffèrent qu’en ce que les termes affectés de ${\frac {1}{\sqrt {n}}}$ ont des signes contraires ; on peut donc égaler séparément ii zéro les termes du développement de l’équation $(q)$ qui n’ont point ${\sqrt {n}}$ pour diviseur, et alors on a une équation de cette forme

$(r)\qquad \left\{{\begin{aligned}{\frac {1}{2n}}&\left[3r\varphi '(r,n-1)+\varphi ''(r,n-1)\right]\\&=\varphi (r,n)-\varphi (r,n-1)-{\frac {r}{n}}\left[\varphi '(r,n)-\varphi '(r,n-1)\right]\\&\qquad +{\frac {\mathrm {M} }{n^{2}}}+{\frac {\mathrm {M} '}{n^{2}}}+\ldots ,\end{aligned}}\right.$

$\mathrm {M,M'} ,\ldots$ étant des fonctions rationnelles et entières de $r,$ multipliées par les différentielles de $\varphi (r,n-1),$ et qu’il est facile de former. On trouve ainsi

${\begin{aligned}\mathrm {M} =&-{\frac {3r}{8}}\varphi '(r,n-1)-{\frac {4+r^{2}}{8}}\varphi ''(r,n-1)\\&-{\frac {r}{4}}\varphi '''(r,n-1)-{\frac {1}{24}}\varphi ^{\text{ıv}}(r,n-1).\end{aligned}}$

L’équation $(p)$ donne, en l’intégrant et désignant par $\varphi _{1}(r,n)$