On trouvera de la même manière, en prenant l’intégrale
![{\displaystyle k'={\frac {4p^{3}}{h^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f768d56f5336f65c33e723895074a8680b71ed2)
ainsi
![{\displaystyle {\frac {k}{2k'}}={\frac {h^{2}}{4p^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82aa724cdd7349e80c875efa1a49d7058489dd54)
La probabilité que l’erreur moyenne sera comprise dans les limites
sera donc
![{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\frac {h}{2p}}\int e^{-{\frac {h^{2}}{4p^{2}}}r^{2}}dr.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54246ea24afb85ddc8e3cf07dc31c11fdf068785)
Soit
les limites deviennent
et la probabilité que l’erreur moyenne sera comprise dans ces limites devient
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int e^{-{\frac {1}{4}}r'^{2}}dr'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a55d89cd826fb3f9b830248af13ea8b2b553c71)
alors la considération de
supposé infini disparaît.
VII.
Le moyen qui nous a conduit à l’équation
de l’article V laissait à désirer une méthode directe pour y arriver ; sa recherche est l’objet de l’analyse suivante.
Désignons par
le second membre de cette équation qu’il s’agit de déterminer ; en la différenciant par rapport à
elle donnera
![{\displaystyle {\frac {1}{1.2.3\ldots (n-1)2^{n}}}\left[\left(n+r{\sqrt {n}}\right)^{n-1}-n\left(n+r{\sqrt {n}}-2\right)^{n-1}+\ldots \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aff7da8ecb9baf22fdd8a6c408d1e3470add2067)
![{\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {n}}}\varphi '(r,n),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c7857d77c5ceffdbaf4b0c8fa9a97bf915dd7e1)
désignant les différences successives de
divisées par les puissances correspondantes de
mais on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(n+r{\sqrt {n}}\right)^{n-1}-n\left(n+r{\sqrt {n}}-2\right)^{n-1}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}\left(n+r{\sqrt {n}}-4\right)^{n-1}-\ldots \\&\quad =\quad \left(n-1+r'{\sqrt {n-1}}\right)^{n-1}-(n-1)\left(n-1+r'{\sqrt {n-1}}-2\right)^{n-1}+\ldots \\&\qquad -\left(n-1+r''{\sqrt {n-1}}\right)^{n-1}+(n-1)\left(n-1+r''{\sqrt {n-1}}-2\right)^{n-1}-\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e586f9fa0bca7eeb3045c16eccb9f8f951be3ce)