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On trouvera de la même manière, en prenant l’intégrale $\int {\frac {x^{2}dx}{h^{2}}}e^{-{\frac {x}{p}}},$

$k'={\frac {4p^{3}}{h^{2}}}\,;$

ainsi

${\frac {k}{2k'}}={\frac {h^{2}}{4p^{2}}}.$

La probabilité que l’erreur moyenne sera comprise dans les limites $\pm {\frac {rh}{\sqrt {n}}}$ sera donc

${\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\frac {h}{2p}}\int e^{-{\frac {h^{2}}{4p^{2}}}r^{2}}dr.$

Soit $rh=r'p,$ les limites deviennent $\pm {\frac {r'p}{r{\sqrt {n}}}},$ et la probabilité que l’erreur moyenne sera comprise dans ces limites devient

${\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int e^{-{\frac {1}{4}}r'^{2}}dr'\,;$

alors la considération de $h$ supposé infini disparaît.

VII.

Le moyen qui nous a conduit à l’équation $(b)$ de l’article V laissait à désirer une méthode directe pour y arriver ; sa recherche est l’objet de l’analyse suivante.

Désignons par $\varphi (r,n)$ le second membre de cette équation qu’il s’agit de déterminer ; en la différenciant par rapport à $r,$ elle donnera

${\frac {1}{1.2.3\ldots (n-1)2^{n}}}\left[\left(n+r{\sqrt {n}}\right)^{n-1}-n\left(n+r{\sqrt {n}}-2\right)^{n-1}+\ldots \right]$

$={\frac {1}{\sqrt {n}}}\varphi '(r,n),$

$\varphi '(r,n),\varphi ''(r,n),\ldots$ désignant les différences successives de $\varphi (r,n),$ divisées par les puissances correspondantes de $dr\,;$ mais on a

${\begin{aligned}&\left(n+r{\sqrt {n}}\right)^{n-1}-n\left(n+r{\sqrt {n}}-2\right)^{n-1}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}\left(n+r{\sqrt {n}}-4\right)^{n-1}-\ldots \\&\quad =\quad \left(n-1+r'{\sqrt {n-1}}\right)^{n-1}-(n-1)\left(n-1+r'{\sqrt {n-1}}-2\right)^{n-1}+\ldots \\&\qquad -\left(n-1+r''{\sqrt {n-1}}\right)^{n-1}+(n-1)\left(n-1+r''{\sqrt {n-1}}-2\right)^{n-1}-\ldots ,\end{aligned}}$