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et, par conséquent,

${\frac {k}{2k'}}=10\,;$

ainsi la probabilité que l’erreur moyenne des observations sera comprise dans les limites $\pm {\frac {rh}{\sqrt {n}}}$ sera

En appliquant à ce cas la méthode de l’article I, on aura l’expression de la même probabilité par une suite d’un très grand nombre de termes, analogue à celle des différences finies, par laquelle nous avons déterminé la probabilité dans le cas d’une égale facilité des erreurs. Mais cette nouvelle suite, que nous avons donnée dans les Mémoires cités de l’Académie des Sciences pour l’année 1778, page 249 ^[1], est trop compliquée pour offrir par sa comparaison avec l’expression précédente de la probabilité des résultats qui puissent intéresser les géomètres.

Dans le cas où les erreurs peuvent s’étendre à l’infini, l’analyse précédente donne encore la probabilité que l’erreur moyenne d’un très grand nombre d’observations sera resserrée dans les limites données. Pour voir comment on peut alors appliquer cette analyse, supposons que $e^{-{\frac {x}{p}}}$ soit l’expression de la facilité des erreurs, l’exposant de $e$ devant toujours être négatif et le même pour des erreurs égales positives et négatives. En supposant les erreurs positives, on aura

$\int e^{-{\frac {x}{p}}}dx=p\left(1-e^{-{\frac {h}{2p}}}\right),$

en prenant l’intégrale depuis $x$ nul jusqu’à $x={\frac {1}{2}}h.$ Pour avoir la valeur entière de $k,$ il faut doubler cette quantité, parce que les erreurs négatives donnent une quantité égale à la précédente ; en supposant donc $h$ assez grand pour que $e^{-{\frac {h}{2p}}}$ disparaisse devant l’unité, ce qui a lieu exactement dans le cas de $h$ infini, on aura à très peu près

$k=2p.$

1. Œuvres de Laplace, T. IX, p. 404.