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ce qui, en intégrant depuis $t$ nul jusqu’à $t$ infini, devient, par l’analyse de l’article III,

${\frac {2}{(i+i'){\sqrt {\pi }}{\sqrt {\cfrac {k}{2k'n}}}e^{-{\frac {k}{2k'}}r^{2}}}}.$

Si l’on multiplie cette fonction par $dl,$ en l’intégrant on aura la probabilité que la somme des erreurs sera comprise dans les limites $nq\pm l$ ou $nq\pm (i+i')r{\sqrt {n}}\,;$ or on a

$dl=(i+i')dr{\sqrt {n}}\,;$

cette probabilité sera donc

${\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {\frac {k}{2k'}}}\int e^{-{\frac {k}{2k'}}r^{2}}dr.$

$i+i'$ étant égal à $h,$ et $q'$ pouvant être substitué pour $q,$ les limites précédentes deviendront

$nq'\pm hr{\sqrt {n}},$

et celles de la moyenne des erreurs seront

$q'\pm {\frac {rh}{\sqrt {n}}}.$

Dans le cas que nous avons considéré dans l’article III, $q'$ est nul ; $k=h,$ $k'={\frac {1}{12}}h\,;$ l’expression précédente devient, en y faisant $r={\frac {1}{2}}r',$

et les limites de la moyenne des erreurs sont $\pm {\frac {{\frac {1}{2}}r'h}{\sqrt {n}}}\,:$ ce qui est conforme à l’article cité.

En général, $q'$ est nul lorsque la courbe des facilités des erreurs est symétrique de chaque côté de l’ordonnée correspondante à l’erreur zéro. Si la loi des facilités est représentée par $\mathrm {A} \left({\frac {1}{4}}h^{2}-x^{2}\right),$ on aura

$k={\frac {\mathrm {A} }{6}}h^{2},\qquad 2k'={\frac {\mathrm {A} }{60}}h^{3}$