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Si, conformément à l’analyse de l’article IV, on multiplie la fonction $(o)$ par $2\cos l\varpi ,$ le terme indépendant de $\varpi$ dans le produit exprimera la probabilité que la somme des erreurs sera ou $nq-l$ ou $nq+l\,;$ en multipliant ce produit par $d\varpi ,$ et intégrant depuis $\varpi$ nul jusqu’à $\varpi =\pi ,$ l’intégrale divisée par $\pi$ exprimera cette probabilité qui sera ainsi, en rejetant les puissances impaires de $\varpi ,$ qui sont multipliées par ${\sqrt {-1}}$ et qui résultent du développement des sinus de $\varpi$ et de ses multiples dans la fonction $(o),$

$(o')\qquad {\frac {(i+i')^{n}k^{n}}{h^{n}}}{\frac {2}{\pi }}\int \cos l\varpi \left[1-{\frac {k'}{2k}}(i+i')^{2}\varpi ^{2}+\ldots \right]^{n}d\varpi .$

Soit présentement

$(i+i')\varpi =t\,;$

on aura

$\log \left[1-{\frac {k'}{2k}}(i+i')^{2}\varpi ^{2}+\ldots \right]^{n}=n\log \left(1-{\frac {k'}{2k}}t^{2}+\ldots \right)$

$=n\left(-{\frac {k'}{2k}}t^{2}+\ldots \right),$

ce qui donne pour $\left[1-{\frac {k'}{2k}}(i+i')^{2}\varpi ^{2}+\ldots \right]^{n}$ une expression de cette forme

$e^{-{\frac {k'}{2k}}nt^{2}}\left(1+\mathrm {A} nt^{4}+\ldots \right).$

La fonction $(o')$ deviendra donc

$(o'')\quad {\frac {(i+i')^{n}k^{n}}{h^{n}}}{\frac {2}{\pi }}{\frac {1}{i+i'}}\int \cos {\frac {lt}{i+i'}}dte^{-{\frac {k'}{2k}}nt^{2}}\left(1+\mathrm {A} nt^{4}+\ldots \right).$

L’erreur de chaque observation devant nécessairement tomber dans l’intervalle $h,$ on a

${\frac {(i+i')k}{h}}=1.$

Soit ${\frac {l}{i+i'}}=r{\sqrt {n}}\,;$ l’expression précédente deviendra, en n’ayant égard qu’à son premier terme,

${\frac {2}{\pi (i+i')}}\int \cos rt{\sqrt {n}}e^{-{\frac {k'}{2k}}nt^{2}}dt,$