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dans le développement de cette puissance sera la probabiHté que la somme des erreurs de $n$ observations sera $r,$ d’où il suit que, en multipliant la fonction précédente par $e^{-q\varpi {\sqrt {-1}}}$ et élevant le produit à la puissance $n,$ le coefficient de $e^{r\varpi {\sqrt {-1}}}$ dans le développement de ce produit sera la probabilité que la somme des erreurs sera $r+nq.$ Ce produit est

$(o)\qquad \qquad \qquad \qquad \left[\sum \varphi \left({\frac {r}{i+i'}}\right)e^{(r-q)\varpi {\sqrt {-1}}}\right]^{n},$

le signe $\sum$ devant s’étendre depuis $r=-i$ jusqu’à $r=i'.$ Si l’on fait

${\frac {r}{i+i'}}={\frac {x}{h}},\qquad {\frac {q}{i+i'}}={\frac {q'}{h}},\qquad {\frac {1}{i+i'}}={\frac {dx}{h}},$

la fonction $(o)$ devient, en réduisant les exponentielles en séries,

${\begin{aligned}{\frac {(i+i')^{n}}{h^{n}}}\left[\int \varphi \left({\frac {x}{h}}\right)dx+(i+i')\varpi {\sqrt {-1}}\int {\frac {x-q'}{h}}\varphi \left({\frac {x}{h}}\right)dx\right.\qquad \qquad &\\\left.-{\frac {(i+i')^{2}}{1.2}}\varpi ^{2}\int {\frac {(x-q')^{2}}{h^{2}}}\varphi \left({\frac {x}{h}}\right)dx+\ldots \right]^{n}\,;&\end{aligned}}$

$x$ est l’abscisse dont l’ordonnée est $\varphi \left({\frac {x}{h}}\right),$ l’origine des abscisses correspondant à l’ordonnée relative à l’erreur zéro ; $q'$ est l’abscisse correspondante à l’ordonnée du centre de gravité de l’aire de la courbe ; les intégrales doivent être prises depuis $x={\frac {-ih}{i+i'}}$ jusqu’à $x={\frac {i'h}{i+i'}}.$ On a, par la nature du centre de gravité de la courbe,

$\int {\frac {x-q'}{h}}\varphi \left({\frac {x}{h}}\right)dx=0\,;$

en faisant

$k=\int \varphi \left({\frac {x}{h}}\right)dx,\qquad k'=\int {\frac {(x-q')^{2}}{h^{2}}}\varphi \left({\frac {x}{h}}\right)dx,\qquad \ldots ,$

la fonction précédente devient ainsi

${\frac {(i+i')^{n}}{h^{n}}}k^{n}\left[1-{\frac {k'}{2k}}(i+i')^{2}\varpi ^{2}+\ldots \right]^{n}.$