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et, avec l’exclusion des puissances des quantités négatives,

$n^{n+2}-n(n-2)^{n+2}+\ldots =1.2.3\ldots (n+2)2^{n-1}{\frac {n}{6}}\,;$

on a donc

${\begin{aligned}&{\frac {1}{1.2.3\ldots (n+2).2^{n}n}}\left[\left(n+r{\sqrt {n}}\right)^{n+2}-n\left(n+r{\sqrt {n}}-2\right)^{n+2}+\ldots \right]\\&\qquad ={\frac {1}{12}}+{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}{\frac {r}{3}}+{\frac {1}{4}}r^{2}+{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\iiint dr^{3}e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}},\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

VI.

Le problème que nous avons résolu dans l’article I, relativement aux inclinaisons, est le même que celui dans lequel on se propose de déterminer la probabilité que l’erreur moyenne d’un nombre $n$ d’observations sera comprise dans des limites données, en supposant que les erreurs de chaque observation puissent également s’étendre dans l’intervalle $h.$ Nous allons maintenant considérer le cas général dans lequel les facilités des erreurs suivent une loi quelconque.

Divisons l’intervalle $h,$ dans un nombre infini de parties $i+i',$ les erreurs négatives pouvant s’étendre depuis zéro jusqu’à $-i,$ et les erreurs positives depuis zéro jusqu’à $i'.$ Pour chaque point de l’intervalle $h,$ élevons des ordonnées qui expriment les facilités des erreurs correspondantes ; nommons $q$ le nombre des parties comprises depuis l’ordonnée relative à l’erreur zéro jusqu’à l’ordonnée du centre de gravité de l’aire de la courbe formée par ces ordonnées. Cela posé, représentons par $\varphi \left({\frac {s}{i+i'}}\right)$ la probabilité de l’erreur $s$ pour chaque observation, et considérons la fonction

${\begin{aligned}&\varphi \left({\frac {-i}{i+i'}}\right)e^{-i\varpi {\sqrt {-1}}}+\varphi \left[{\frac {-(i-1)}{i+i'}}\right]e^{-(i-1)\varpi {\sqrt {-1}}}+\ldots \\&+\varphi \left({\frac {0}{i+i'}}\right)+\ldots +\varphi \left({\frac {i'-1}{i+i'}}\right)e^{-(i'-1)\varpi {\sqrt {-1}}}+\varphi \left({\frac {i'}{i+i'}}\right)e^{i'\varpi {\sqrt {-1}}}.\end{aligned}}$

En élevant cette fonction à la puissance $n,$ le coefficient de $e^{r\varpi {\sqrt {-1}}}$