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les intégrales commençant avec $r,$ et $\mathrm {N} _{n}$ étant égal à

$n^{n+1}-n(n-2)^{n+1}+\ldots .$

Pour déterminer cette fonction, nous observerons que l’on a

${\begin{aligned}n^{n+1}&-n(n-2)^{n+1}+\ldots \\&=n\left[n^{n}-n(n-2)^{n}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}(n-4)^{n}-\ldots \right]\\&+2n\left[\left(n-1+r'{\sqrt {n-1}}\right)^{n}-(n-1)\left(n-1+r'{\sqrt {n-1}}-2\right)^{n}+\ldots \right]\end{aligned}}$

en faisant $r'{\sqrt {n-1}}=-1.$ On a ensuite

$n^{n}-n(n-2)^{n}+\ldots =1.2.3\ldots n.2^{n-1},$

car le premier membre de cette équation est la moitié de la série des différences, sans l’exclusion des quantités négatives élevées à la puissance $n.$ De plus, si l’on change, dans l’équation $(b),$ $n$ dans $n-1\,;$ $r$ en $r',$ et si l’on y suppose ensuite $r'=-{\frac {1}{\sqrt {n-1}}},$ on aura à très peu près

$\left(n-1+r'{\sqrt {n-1}}\right)^{n}-(n-1)\left(n-1+r'{\sqrt {n-1}}-2\right)^{n}+\ldots$

$=\mathrm {N} _{n-1}+1.2.3\ldots n{\sqrt {n-1}}.2^{n-1}\left[-{\frac {1}{2{\sqrt {n-1}}}}+{\frac {1}{2{\sqrt {n-1}}}}{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\right].$

On aura donc

$\mathrm {N} _{n}=2n\mathrm {N} _{n-1}+1.2.3\ldots n.2^{n-1}{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}{\frac {n}{\sqrt {n-1}}}\,;$

si l’on fait

$\mathrm {N} _{n}=1.2.3\ldots n.2^{n}\delta _{n},$

on aura

$\delta _{n}-\delta _{n-1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}{\frac {n}{\sqrt {n-1}}},$

ce qui donne à très peu près, en intégrant,

$\delta _{n}={\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}{\frac {1}{3}}(n+1){\sqrt {n}}\,;$

il est facile de voir que l’on peut négliger ici la constante arbitraire.