cette fonction est donc égale à l’intégrale précédente. Or on a, sans l’exclusion des quantités négatives élevées à la puissance 
dans le premier membre, l’équation suivante :
Le premier membre est, comme l’on sait, égal à 
la seconde expression de la probabilité devient ainsi, en éliminant 
au moyen de sa valeur donnée par l’équation précédente,
![{\displaystyle {\frac {1}{1.2.3\ldots n.2^{n-1}}}\left[\left(n+r{\sqrt {n}}\right)^{n}-n\left(n+r{\sqrt {n}}-2\right)^{n}+\ldots -1.2.3\ldots n.2^{n-1}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eefd9566bb3199a02678c469ee3ed835f0b5b053)
en l’égalant à l’intégrale qui exprime la même probabilité, on aura cette équation remarquable
![{\displaystyle (b)\left\{{\begin{aligned}{\frac {1}{1.2.3\ldots n.2^{n}}}&\left[\left(n+r{\sqrt {n}}\right)^{n}-n\left(n+r{\sqrt {n}}-2\right)^{n}\right.\\&\quad \left.+{\frac {n(n-1)}{1.2}}\left(n+r{\sqrt {n}}-4\right)^{n}-\ldots -1.2.3\ldots n.2^{n-1}\right]\\={\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}&\int dre^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}.\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63006a4bbbb8102c0442e08083cd8f46f41f659a)
Si, au lieu d’éliminer 
on éliminait 
on aurait une équation qui coïnciderait avec la précédente, en y faisant 
négatif ; ainsi cette équation a lieu, étant positif ou négatif, l’intégrale devant commencer avec 
et la série des différences devant s’arrêter lorsque la quantité élevée à la puissance devient négative.
L’équation 
différenciée par rapport à donne
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {n}}{1.2.3\ldots (n-1).2^{n}}}\left[\left(n+r{\sqrt {n}}\right)^{n-1}-n\left(n+r{\sqrt {n}}-2\right)^{n-1}+\ldots \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69a8b678ff7a3dcbd95984abe2241452eec4259b)
