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facile de conclure que la probabilité cherchée est

${\frac {1}{2}}-{\frac {97.96\ldots 50}{1.2.3\ldots 48.2^{97}}}\left(1+{\frac {48}{50}}+{\frac {48.47}{50.51}}\right).$

Or on a

${\frac {97.96\ldots 50}{1.2.3\ldots 48.2^{97}}}={\frac {1.2.3\ldots 97}{(1.2.3\ldots 49)^{2}}}{\frac {49}{2^{97}}}\,;$

de plus, on a généralement, lorsque $s$ est un grand nombre,

$1.2.3\ldots s=s^{s+{\frac {1}{2}}}e^{-s}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {1}{12s}}+\ldots \right),$

ce qui donne

${\frac {1.2.3\ldots 97}{(1.2.3\ldots 49)^{2}}}{\frac {49}{2^{97}}}={\frac {\left({\cfrac {48{,}5}{49}}\right)^{98}{\cfrac {1165}{1164}}e}{{\sqrt {\pi .48{,}5}}\left({\cfrac {589}{588}}\right)^{2}}}.$

On trouve ainsi la probabilité cherchée égale à $0{,}2713,$ fraction beaucoup trop grande pour qu’elle puisse indiquer une cause qui ait favorisé, dans l’origine, les mouvements directs. Ainsi la cause qui a déterminé le sens des mouvements de rotation et de révolution des planètes et des satellites ne paraît pas avoir influé sur le mouvement des comètes.

.

Si l’on néglige les termes de l’ordre ${\frac {1}{n}},$ l’intégrale ${\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int dse^{-s^{2}}$ ou ${\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {\frac {3}{2}}}\int dre^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}$ exprime la probabilité que la somme des inclinaisons des orbites sera comprise dans les limites ${\frac {h}{2}}-{\frac {rh}{2{\sqrt {n}}}}$ et ${\frac {h}{2}}+{\frac {rh}{2{\sqrt {n}}}}\,;$ mais cette même probabilité est, par l’article II, égale à

${\begin{aligned}{\frac {1}{1.2.3\ldots n.2^{n}}}&\left[\left(n+r{\sqrt {n}}\right)^{n}-n\left(n+r{\sqrt {n}}-2\right)^{n}\right.\\&\qquad +{\frac {n(n-1)}{1.2}}\left(n+r{\sqrt {n}}-4\right)^{n}-\ldots \\&\qquad -\left(n-r{\sqrt {n}}\right)^{n}+n\left(n-r{\sqrt {n}}-2\right)^{n}\\&\qquad -\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \left.\right]\,;\end{aligned}}$