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observant que le numérateur de la fraction $i$^ième est égal au numérateur de la fraction $(i-1)$^ième plus au numérateur de la fraction (i-2)^ième multiplié par $(i-1)q.$ Les dénominateurs se déduisent les uns des autres de la même manière.

IV.

Nous pouvons maintenant appliquer nos formules aux comètes observées, en faisant usage des données de l’article II. On a, d’après ces données,

$n=97,\qquad h=100^{\mathrm {G} },$

ce qui donne

$s={\frac {1^{\mathrm {G} }{,}87763}{100^{\mathrm {G} }}}2{\sqrt {97}}{\sqrt {\frac {3}{2}}}=0{,}452731.$

On peut ici faire usage de l’expression de l’intégrale $\int dse^{-s^{2}}$ en série, et alors on a

${\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int dse^{-s^{2}}=04941.$

La probabilité que l’inclinaison moyenne doit être comprise dans les limites $50^{\mathrm {G} }\pm 1^{\mathrm {G} }{,}87663$ est, par la formule $\left(a^{\text{ıv}}\right),$ égale à $0{,}4933,$ ou ${\frac {1}{2}}$ à fort peu près ; la probabilité que cette inclinaison doit être au-dessous est donc ${\frac {1}{4}},$ et la probabilité qu’elle doit être au-dessus est ${\frac {1}{4}}.$ Toutes ces probabilités sont trop peu différentes de ${\frac {1}{2}}$ pour que le résultat observé fasse rejeter l’hypothèse d’une égale facilité des inclinaisons des orbites, et pour indiquer l’existence d’une cause primitive qui a influé sur ces inclinaisons, cause que l’on ne peut s’empêcher d’admettre dans les inclinaisons des orbes planétaires.

La même chose a lieu par rapport au sens du mouvement. La probabilité que, sur quatre-vingt-dix-sept comètes, quarante-cinq au plus seront rétrogrades, est la somme des quarante-six premiers termes du binôme $(p+q)^{97},$ en faisant $p=q={\frac {1}{2}}\,;$ mais la somme des quarante-huit premiers est la moitié du binôme ou ${\frac {1}{2}}\,;$ d’où il est