Considérons d’abord l’intégrale
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int dte^{rt{\sqrt {-n}}}t^{2f}e^{-{\frac {nt^{2}}{6}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a2437798c215e65a9fabc9d3e11ee37b42d1529)
nous la mettrons sous cette forme
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}\int dte^{-{\frac {1}{6}}\left(t{\sqrt {n}}-3r{\sqrt {-1}}\right)^{2}}t^{2f}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/572359713d4ca253e3af3f465797d98858fbb654)
Faisons
![{\displaystyle {\frac {t{\sqrt {n}}-3r{\sqrt {-1}}}{\sqrt {6}}}=t',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10f5d2207ada7ca9a1a0b748d9da1ccecd5dff81)
cette intégrale deviendra
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}{\sqrt {\frac {6}{n}}}\int dt'e^{-t'^{2}}{\frac {\left(t'{\sqrt {6}}+3r{\sqrt {-1}}\right)^{2f}}{n^{f}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9558605380398e3cb07896371818a989802a14b5)
Mais elle doit être prise depuis
jusqu’à l’infini. La partie
de
donnera pareillement l’intégrale
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}{\sqrt {\frac {6}{n}}}\int dt'e^{-t'^{2}}{\frac {\left(t'{\sqrt {6}}-3r{\sqrt {-1}}\right)^{2f}}{n^{f}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/425a8d7099019829586f64a0d8587ab25163a295)
l’intégrale étant prise depuis
jusqu’à l’infini. De là il est aisé de conclure que l’intégrale
est égale à
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}{\sqrt {\frac {6}{n}}}\int dt'e^{-t'^{2}}{\frac {\left(t'{\sqrt {6}}-3r{\sqrt {-1}}\right)^{2f}}{n^{f}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/425a8d7099019829586f64a0d8587ab25163a295)
l’intégrale étant prise depuis
jusqu’à
ou, ce qui revient au même, à la partie réelle de l’intégrale
![{\displaystyle e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}{\sqrt {\frac {6}{n}}}\int dt'e^{-t'^{2}}{\frac {\left(t'{\sqrt {6}}+3r{\sqrt {-1}}\right)^{2f}}{n^{f}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf68b4ed3ce5d98a7bafc8e0344826d65c4de450)
l’intégrale étant prise depuis
nul jusqu’à
infini. En faisant
on a
![{\displaystyle \int dtt^{4}\cos rt{\sqrt {n}}e^{-{\frac {nt^{2}}{6}}}={\frac {e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}}{n^{2}{\sqrt {n}}}}3^{3}\left(1-6r^{2}+3r^{4}\right){\sqrt {{\frac {3}{2}}\pi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea273c081211268a977cefc511abe17c412c7a1)
ce qui coïncide avec le résultat précédent.