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Considérons d’abord l’intégrale

${\frac {1}{2}}\int dte^{rt{\sqrt {-n}}}t^{2f}e^{-{\frac {nt^{2}}{6}}}\,;$

nous la mettrons sous cette forme

${\frac {1}{2}}e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}\int dte^{-{\frac {1}{6}}\left(t{\sqrt {n}}-3r{\sqrt {-1}}\right)^{2}}t^{2f}.$

Faisons

${\frac {t{\sqrt {n}}-3r{\sqrt {-1}}}{\sqrt {6}}}=t',$

cette intégrale deviendra

${\frac {1}{2}}e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}{\sqrt {\frac {6}{n}}}\int dt'e^{-t'^{2}}{\frac {\left(t'{\sqrt {6}}+3r{\sqrt {-1}}\right)^{2f}}{n^{f}}}.$

Mais elle doit être prise depuis $t'=-{\frac {3r{\sqrt {-1}}}{\sqrt {6}}}$ jusqu’à l’infini. La partie ${\frac {1}{2}}e^{-rt{\sqrt {-n}}}$ de $\cos rt{\sqrt {n}}$ donnera pareillement l’intégrale

${\frac {1}{2}}e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}{\sqrt {\frac {6}{n}}}\int dt'e^{-t'^{2}}{\frac {\left(t'{\sqrt {6}}-3r{\sqrt {-1}}\right)^{2f}}{n^{f}}},$

l’intégrale étant prise depuis $t'={\frac {3r{\sqrt {-1}}}{\sqrt {6}}}$ jusqu’à l’infini. De là il est aisé de conclure que l’intégrale $\int dtt^{2f}\cos rt{\sqrt {n}}e^{-{\frac {nt^{2}}{6}}}$ est égale à

${\frac {1}{2}}e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}{\sqrt {\frac {6}{n}}}\int dt'e^{-t'^{2}}{\frac {\left(t'{\sqrt {6}}-3r{\sqrt {-1}}\right)^{2f}}{n^{f}}},$

l’intégrale étant prise depuis $t'=-\infty$ jusqu’à $t'=+\infty ,$ ou, ce qui revient au même, à la partie réelle de l’intégrale

$e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}{\sqrt {\frac {6}{n}}}\int dt'e^{-t'^{2}}{\frac {\left(t'{\sqrt {6}}+3r{\sqrt {-1}}\right)^{2f}}{n^{f}}},$

l’intégrale étant prise depuis $t'$ nul jusqu’à $t'$ infini. En faisant $2f=4,$ on a

$\int dtt^{4}\cos rt{\sqrt {n}}e^{-{\frac {nt^{2}}{6}}}={\frac {e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}}{n^{2}{\sqrt {n}}}}3^{3}\left(1-6r^{2}+3r^{4}\right){\sqrt {{\frac {3}{2}}\pi }},$

ce qui coïncide avec le résultat précédent.