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Le premier terme de la fonction $(a''')$ devient ainsi

${\frac {(2i)^{n}}{2i{\sqrt {\pi }}}}{\sqrt {\frac {6}{n}}}e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}.$

Considérons présentement le terme

$\int nt^{4}dte^{-{\frac {t^{2}n}{6}}}\cos rt{\sqrt {n}}.$

En intégrant par parties, ce terme devient

$-3t^{3}e^{-{\frac {t^{2}n}{6}}}\cos rt{\sqrt {n}}+3\int e^{-{\frac {t^{2}n}{6}}}d\left(t^{3}\cos rt{\sqrt {n}}\right).$

Mais on a

$3\int e^{-{\frac {t^{2}n}{6}}}d\left(t^{3}\cos rt{\sqrt {n}}\right)$

$=9\int t^{2}dte^{-{\frac {t^{2}n}{6}}}\cos rt{\sqrt {n}}+3r{\frac {d}{dr}}\int t^{2}dte^{-{\frac {t^{2}n}{6}}}\cos rt{\sqrt {n}}\,;$

on a ensuite

$\int t^{2}dte^{-{\frac {t^{2}n}{6}}}\cos rt{\sqrt {n}}=-{\frac {3t}{n}}e^{-{\frac {t^{2}n}{6}}}\cos rt{\sqrt {n}}+{\frac {3}{n}}\int e^{-{\frac {t^{2}n}{6}}}d\left(t\cos rt{\sqrt {n}}\right)$

et

${\begin{aligned}\int e^{-{\frac {t^{2}n}{6}}}d\left(t\cos rt{\sqrt {n}}\right)=&\int dt\cos rt{\sqrt {n}}e^{-{\frac {t^{2}n}{6}}}+r{\frac {d}{dr}}\int dte^{-{\frac {t^{2}n}{6}}}\cos rt{\sqrt {n}}\\=&{\sqrt {\frac {6}{n}}}{\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\left(e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}+r{\frac {d}{dr}}e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}\right).\end{aligned}}$

En réunissant ces valeurs et prenant l’intégrale depuis $t$ nul jusqu’à $t$ infini, on aura

$\int nt^{4}dte^{-{\frac {t^{2}n}{6}}}\cos rt{\sqrt {n}}={\frac {3^{3}}{n}}{\sqrt {\frac {3\pi }{2n}}}e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}\left(1-6r^{2}+3r^{4}\right).$

On peut obtenir facilement de cette autre manière l’intégrale

$\int dt\cos rt{\sqrt {n}}t^{2f}e^{-{\frac {t^{2}n}{6}}}.$

Pour cela, on substituera, au lieu de $\cos rt{\sqrt {n}},$ sa valeur ${\frac {e^{rt{\sqrt {-n}}}+e^{-rt{\sqrt {-n}}}}{2}}.$