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ce qui donne

$\left({\frac {\sin t}{t}}\right)^{n}=e^{-{\frac {nt^{2}}{6}}-{\frac {n}{180}}t^{4}-\ldots }=e^{-{\frac {nt^{2}}{6}}}\left(1-{\frac {n}{180}}t^{4}-\ldots \right),$

$e$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité. La fonction $(a'')$ prend alors cette forme

$(a''')\qquad \qquad {\frac {(2i)^{n}}{i\pi }}\int dt\cos rt{\sqrt {n}}e^{-{\frac {nt^{2}}{6}}}\left(1-{\frac {n}{180}}t^{4}-\ldots \right).$

Considérons les différents termes de cette fonction. On a d’abord, en réduisant en série $\cos rt{\sqrt {n}}$ et faisant $t'=t{\sqrt {\frac {n}{6}}},$

$\int dt\cos rt{\sqrt {n}}e^{-{\frac {nt^{2}}{6}}}={\frac {6}{n}}\left(1-{\frac {r^{2}}{1.2}}6t'^{2}+{\frac {r^{4}}{1.2.3.4}}6^{2}t'^{4}-\ldots \right).$

L’intégrale doit être prise depuis $t$ nul jusqu’à $t$ infini, parce que $i$ étant infini, $t$ ou $i\varpi$ devient infini à la limite $\varpi =\pi \,;$ l’intégrale relative à $t'$ doit donc être prise depuis $t'$ nul jusqu’à $t'$ infini. Dans ce cas, on a, comme je l’ai fait voir dans les Mémoires cités de l’Académie des Sciences pour l’année 1778 ^[1],

$\int dt'e^{-t'^{2}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}.$

On a ensuite, en intégrant par parties,

$\int t'^{2}dt'e^{-t'^{2}}=-{\frac {1}{2}}t'e^{-t'^{2}}+{\frac {1}{2}}\int dt'e^{-t'^{2}}.$

En prenant l’intégrale depuis $t'$ nul jusqu’à $t'$ infini, ce second membre se réduit à ${\frac {1}{2}}.{\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}.$ Généralement on a, dans les mêmes limites.

$\int t^{'2m}dt'e^{-t'^{2}}={\frac {1.3.5.(2m-1)}{2^{m}}}{\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}.$

On aura donc

$\int dt\cos rt{\sqrt {n}}e^{-{\frac {nt^{2}}{6}}}={\sqrt {\frac {6}{n}}}{\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\left(1-{\frac {3}{2}}r^{2}+{\frac {\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}r^{4}}{1.2}}-\ldots \right)$

$={\sqrt {\frac {6}{n}}}{\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}.$

1. Œuvres de Laplace, T. IX, p. 447.