En la multipliant par
le terme multiplié par
dans le développement de la puissance deviendra indépendant de
dans le produit ; d’où il est facile de conclure que l’on aura le coefficient de ce terme en prenant l’intégrale
![{\displaystyle (a')\qquad \qquad {\frac {1}{\pi }}\int d\varpi \cos l\varpi (1+2\cos \varpi +\ldots +2\cos i\varpi )^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b845fd6cac371ae74ec00834b6179a367552309)
depuis
nul jusqu’à
étant la demi-circonférence ou
car les termes de l’intégrale dépendants de
ne redeviennent tous nuls à la fois, et, pour la première fois, que dans ces limites.
Maintenant on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}1+2\cos \varpi +\ldots +2\cos i\varpi =&{\frac {\cos i\varpi -\cos(i+1)\varpi }{1-\cos \varpi }}\\=&\cos i\varpi +{\frac {\cos {\frac {1}{2}}\varpi \sin i\varpi }{\sin {\frac {1}{2}}\varpi }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5a448d5f6e5b4025aa0d53e0d84e40e0ca54ebb)
Soit
on aura
![{\displaystyle \cos i\varpi +{\frac {\cos {\frac {1}{2}}\varpi \sin i\varpi }{\sin {\frac {1}{2}}\varpi }}=\cos t+{\frac {\cos {\cfrac {t}{2i}}\sin t}{\sin {\cfrac {t}{2i}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0901af08d92a777115a616a27b8e6d03b6690aed)
Le second membre de cette équation devient, à cause de
infini,
![{\displaystyle 2i{\frac {\sin t}{t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a716bf56a779882ef32ff25f4be970550f54962)
De plus, si l’on fait
![{\displaystyle l=ir{\sqrt {n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4655e0fa25f005063aba5926f2cff1b72eec970a)
on aura
![{\displaystyle \cos l\varpi =\cos rt{\sqrt {n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/473f568169024dd5c226d372909ffc5afbe560c7)
La fonction
devient donc
![{\displaystyle (a'')\qquad \qquad \qquad {\frac {(2i)^{n}}{i\pi }}\int dt\cos rt{\sqrt {n}}\left({\frac {\sin t}{t}}\right)^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/802d526cbd25956448f4386da565bb9329e6ada4)
On a, en réduisant
en série,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\log \left({\frac {\sin t}{t}}\right)^{n}=&n\log \left(1-{\frac {1}{1.2.3}}t^{2}+{\frac {1}{1.2.3.4.5}}t^{4}-\ldots \right)\\=&-{\frac {nt^{2}}{6}}-{\frac {n}{180}}t^{4}-\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b53e4b6edf86dfc505334ff8b439c73e84e065bd)