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en rejetant les termes dans lesquels la quantité sous le signe de la puissance est négative. Cet artifice, étendu à des lois quelconques de facilités, donne une méthode générale pour déterminer la probabilité que l’erreur d’un nombre quelconque d’observations sera comprise dans des limites données. [Voir les Mémoires de l’Académie des Sciences, année 1778, page 240 et suivantes ^[1].]

Pour déterminer $k,$ nous ferons $n=1,\ s+e'=h$ et $s-e$ nul. La formule précédente devient alors $kh\,;$ mais cette quantité doit être égale à l’unité, puisqu’il est certain que l’inclinaison doit tomber entre zéro et $h.$ On a donc

$k={\frac {1}{h}},$

ce qui change la formule précédente dans celle-ci

$(a)\quad \qquad \left\{{\begin{aligned}{\frac {1}{1.2.3\ldots n.h^{n}}}&\left[(s+e')^{n}-n(s+e'-h)^{n}\right.\\\quad &+{\frac {n(n-1)}{1.2}}(s+e'-2h)^{n}\\&\quad -\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\quad -(s-e)^{n}+n(s-e-h)^{n}\\\quad &-{\frac {n(n-1)}{1.2}}(s-e-2h)^{n}\\&\quad +\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ].\end{aligned}}\right.$

Si l’on fait $s+e'=nh$ et $s-e=0,$ la probabilité que la somme des inclinaisons sera comprise entre zéro et $nh,$ étant la certitude ou l’unité, la formule précédente donne

$n^{n}-n(n-1)^{n}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}(n-2)^{n}-\ldots =1.2.3\ldots n,$

ce que l’on sait d’ailleurs.

II.

Appliquons cette formule aux inclinaisons des orbites des planètes. La somme des inclinaisons des autres orbites à celle de la Terre était,

1. Œuvres de Laplace, T. IX, p. 396 et suivantes.